ディックマン関数
解析的数論では、 Dickman関数またはDickman–de Bruijn関数 ρは、特定の境界までの滑らかな数の割合を推定するために使用される特別な関数です。最初に数理出版物で定義したアクチュアリーのカール・ディックマンによって研究され、後にオランダの数学者ニコラース・ゴバート・ド・ブルーインによって研究されました。
定義
Dickman–de Bruijn関数ρ（u）{\ displaystyle \ rho（u）}は、遅延微分方程式を満たす連続関数です。
uρ ′（u）+ρ（u−1）= 0 {\ displaystyle u \ rho'（u）+ \ rho（u-1）= 0 \、}初期条件ρと（U）= 1 {\ displaystyle \ロー（U）= 1} 0 uが ≤1ディックマンは、{\ displaystyle A}固定されている、我々は場合を持っている、ことを証明≤
Ψ（x、x1 / a）∼xρ（a）{\ displaystyle \ Psi（x、x ^ {1 / a}）\ sim x \ rho（a）\、}ここで、Ψ（x、y）は{\ displaystyleの\のプサイ（x、y）は} Y -smooth（またはY -friable）は、x以下の整数の数です。
Ramaswamiは後に、固定aに対してΨ（x、x1 / a）{\ displaystyle \ Psi（x、x ^ {1 / a}）}がxρ（a）{\ displaystyle x \ rho（ a）}、エラー制限付き
Ψ（x、x1 / a）=xρ（a）+ O（x /logx）{\ displaystyle \ Psi（x、x ^ {1 / a}）= x \ rho（a）+ O（x / \ log x）}大きなO表記で。
用途
Dickman–de Bruijn関数の主な目的は、与えられたサイズで滑らかな数の頻度を推定することです。これは、P-1ファクタリングなどのさまざまな数論的アルゴリズムを最適化するために使用でき、それ自体で有用です。
logρ{\ displaystyle \ log \ rho}を使用して表示できます。
Ψ（x、y）= xuO（−u）{\ displaystyle \ Psi（x、y）= xu ^ {O（-u）}}これは、以下の推定値ρ（u）≈u−u {\ displaystyle \ rho（u）\ approx u ^ {-u}}に関連しています。
Golomb-Dickman定数には、Dickman-de Bruijn関数に関して別の定義があります。
推定
最初の近似値はρ（u）≈u−uです。{\ displaystyle \ rho（u）\ approx u ^ {-u}。\、}より良い推定値は
ρ（u）∼1ξ2πu⋅exp（−uξ +Ei（ξ））{\ displaystyle \ rho（u）\ sim {\ frac {1} {\ xi {\ sqrt {2 \ pi u}}}} \ cdot \ exp（-u \ xi + \ operatorname {Ei}（\ xi））}ここで、Eiは指数積分であり、 ξは
eξ−1 =uξ。{\ displaystyle e ^ {\ xi} -1 = u \ xi。\、}単純な上限はρ（x）≤1/ x！。{\ displaystyle \ rho（x）\ leq 1 / x !.}
| u {\ displaystyle u} | ρ（u）{\ displaystyle \ rho（u）} |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 2 | 3.0685282×10−1 |
| 3 | 4.8608388×10−2 |
| 4 | 4.9109256×10−3 |
| 5 | 3.5472470×10−4 |
| 6 | 1.9649696×10−5 |
| 7 | 8.7456700×10-7 |
| 8 | 3.2320693×10-8 |
| 9 | 1.0162483×10−9 |
| 10 | 2.7701718×10-11 |
計算
nが整数の各区間には、ρn（u）=ρ（u）{\ displaystyle \ rho _ {n}（u）= \ rhoとなる分析関数ρn{\ displaystyle \ rho _ {n}}があります。 （u）}。 0≤u≤1の場合、ρ（u）= 1 {\ displaystyle \ rho（u）= 1}。 1≤U≤2、ρ（U）= 1-logu{\ displaystyle \ロー（U）= 1- \ Uログ}。 uは 3≤≤2の場合、
ρ（u）= 1−（1−log（u−1））log（u）+Li2（1−u）+π212。{\ displaystyle \ rho（u）= 1-（1- \ log （u-1））\ log（u）+ \ operatorname {Li} _ {2}（1-u）+ {\ frac {\ pi ^ {2}} {12}}。}Li2で対数。その他のρn{\ displaystyle \ rho _ {n}}は、無限級数を使用して計算できます。
別の方法は、台形規則を使用して下限と上限を計算することです。次第に細かいサイズのメッシュにより、任意の精度が可能になります。高精度の計算（数百桁）の場合、区間の中間点についての再帰的な級数展開が優れています。
拡張
Friedlanderは、ρ（u）{\ displaystyle \ rho（u）}の2次元アナログσ（u、v）{\ displaystyle \ sigma（u、v）}を定義します。この関数は、de Bruijnの関数と同様の関数Ψ（x、y、z）{\ displaystyle \ Psi（x、y、z）}を推定するために使用されますが、最大で1つの素因数より大きいy平滑整数の数をカウントしますzよりそれから
Ψ（x、x1 / a、x1 / b）∼xσ（b、a）。{\ displaystyle \ Psi（x、x ^ {1 / a}、x ^ {1 / b}）\ sim x \ sigma（ b、a）。\、}
