対角化可能な行列

線形代数では、正方行列A {\ displaystyle A}は、対角行列に似ている場合、つまりP-1AP {\ displaystyle Pのような可逆行列P {\ displaystyle P}が存在する場合、 対角化可能または欠陥なしと呼ばれます。 ^ {-1} AP}は対角行列です。 V {\ displaystyle V}が有限次元ベクトル空間の場合、V {\ displaystyle V}の順序付けられた基底が存在する場合、線形マップT：V↦V{\ displaystyle T：V \ mapsto V}は対角化可能と呼ばれますどのT {\ displaystyle T}が対角行列で表されるかに関して。 対角化は、対角化可能なマトリックスまたは線形マップに対応する対角マトリックスを見つけるプロセスです。対角化できない正方行列は、 欠陥と呼ばれます。

対角行列は特に扱いやすいため、対角化可能な行列とマップが重要です。固有値と固有ベクトルがわかれば、対角要素を単純に同じべき乗することで対角行列をべき乗することができ、対角行列の行列式はすべての対角要素の積になります。幾何学的に、対角化は、 不均一な膨張 （又は異方性スケーリング ）である-それは、均質な拡張と同様に 、空間スケールが、各軸（対角線のエントリ）にスケールファクタによって決定された各方向に異なる要因によって。

定義

フィールドF {\ displaystyle F}上の正方n×n {\ displaystyle n \ times n}行列A {\ displaystyle A}は、P- \のような可逆行列P {\ displaystyle P}が存在する場合、 対角化可能または欠陥なしと呼ばれます。 1AP {\ displaystyle P ^ {-1} AP}は対角行列です。正式に、

特徴づけ

対角化可能なマップとマトリックスに関する基本的な事実は、次のように表されます。

• フィールドF {\ displaystyle F}上のn×n {\ displaystyle n \ times n}行列A {\ displaystyle A}は、固有空間の次元の合計がn {\ displaystyle nに等しい場合にのみ対角化可能です。 }、A {\ displaystyle A}の固有ベクトルで構成されるFn {\ displaystyle F ^ {n}}の基底が存在する場合にのみ、これが当てはまります。そのような基底が見つかった場合、これらの基底ベクトルを列として持つ行列P {\ displaystyle P}を形成でき、P-1AP {\ displaystyle P ^ {-1} AP}は対角行列になります。この行列の対角要素は、A {\ displaystyle A}の固有値です。
• 線形マップT：V↦V{\ displaystyle T：V \ mapsto V}は、固有空間の次元の合計がdim⁡（V）{\ displaystyle \ operatorname {dim}（V ）}、これは、T {\ displaystyle T}の固有ベクトルで構成されるV {\ displaystyle V}の基底が存在する場合にのみ、そうです。そのような基礎に関して、T {\ displaystyle T}は対角行列で表されます。この行列の対角要素は、T {\ displaystyle T}の固有値です。

別の特性化：行列または線形マップは、その最小多項式がF {\ displaystyle F}上の個別の線形因子の積である場合にのみ、フィールドF {\ displaystyle F}で対角化可能です。 （別の言い方をすれば、行列はすべての基本因子が線形である場合にのみ対角化可能です。）

多くの場合、次の十分な（ただし必須ではない）条件が役立ちます。

A {\ displaystyle A}をF {\ displaystyle F}上の行列とします。 A {\ displaystyle A}が対角化可能であれば、その力も同様です。逆に、A {\ displaystyle A}が可逆である場合、F {\ displaystyle F}は代数的に閉じられ、An {\ displaystyle A ^ {n}}はn {\ displaystyle n}の整数倍でない対角化可能です。 F {\ displaystyle F}の特性、次にA {\ displaystyle A}は対角化可能です。証明：An {\ displaystyle A ^ {n}}が対角化可能な場合、A {\ displaystyle A}は多項式（xn−λ1）⋯（xn−λk）{\ displaystyle \ left（x ^ {n}によって消滅します-\ lambda _ {1} \ right）\ cdots \ left（x ^ {n}-\ lambda _ {k} \ right）}、これには複数のルートはありません（λj≠0 {\ displaystyle \ lambda _ {j } \ neq 0}）、A {\ displaystyle A}の最小多項式で除算されます。

経験則として、C {\ displaystyle \ mathbb {C}}では、ほとんどすべての行列が対角化可能です。より正確には：C {\ displaystyle \ mathbb {C}}で対角化できない複雑なn×n {\ displaystyle n \ times n}行列のセット。Cn×n {\ displaystyle \ mathbb {C } ^ {n \ times n}}、ルベーグの測定値はゼロです。また、対角化可能な行列は、ザリスキートポロジに関して密なサブセットを形成すると言うことができます。補数は、特性多項式の判別式が消滅する集合内にあり、超曲面です。それから、ノルムによって与えられる通常の（ 強い ）トポロジーの密度も続きます。同じことは、R {\ displaystyle \ mathbb {R}}には当てはまりません。

Jordan–Chevalley分解は、演算子をその半単純な（つまり、対角化可能な）部分とその無能部分の合計として表現します。したがって、行列は、その虚数部がゼロの場合にのみ対角化可能です。別の言い方をすれば、行列がジョーダン形式の各ブロックに虚数部がない場合、対角化可能です。つまり、各「ブロック」は1行1列の行列です。

対角化

行列A {\ displaystyle A}を対角化できる場合、つまり

P−1AP =（λ10…00λ2…0⋮⋮⋱⋮00…λn）、{\ displaystyle P ^ {-1} AP = {\ begin {pmatrix} \ lambda _ {1}＆0＆\ dots＆0 \\ 0＆\ lambda _ {2}＆\ dots＆0 \\\ vdots＆\ vdots＆\ ddots＆\ vdots \\ 0＆0＆\ dots＆\ lambda _ {n} \ end {pmatrix}}、}

その後：

AP = P（λ10…00λ2…0⋮⋮⋱⋮00…λn）。{\ displaystyle AP = P {\ begin {pmatrix} \ lambda _ {1}＆0＆\ dots＆0 \\ 0＆\ lambda _ {2}＆ \ dots＆0 \\\ vdots＆\ vdots＆\ ddots＆\ vdots \\ 0＆0＆\ dots＆\ lambda _ {n} \ end {pmatrix}}。}

P {\ displaystyle P}を列ベクトルα→i {\ displaystyle {\ vec {\ alpha}} _ {i}}のブロック行列として記述する

P =（α→1α→2⋯α→n）、{\ displaystyle P = {\ begin {pmatrix} {\ vec {\ alpha}} _ {1}＆{\ vec {\ alpha}} _ {2} ＆\ cdots＆{\ vec {\ alpha}} _ {n} \ end {pmatrix}}、}

上記の式は次のように書き直すことができます

Aα→i =λiα→i（i = 1,2、⋯、n）。{\ displaystyle A {\ vec {\ alpha}} _ {i} = \ lambda _ {i} {\ vec {\ alpha}} _ {i} \ qquad（i = 1,2、\ cdots、n）。}

そのため、P {\ displaystyle P}の列ベクトルはA {\ displaystyle A}の右固有ベクトルであり、対応する対角要素は対応する固有値です。 P {\ displaystyle P}の可逆性は、固有ベクトルが線形独立であり、Fn {\ displaystyle F ^ {n}}の基礎を形成することも示唆しています。これは、対角化可能性と対角化の標準的なアプローチに必要かつ十分な条件です。 P-1 {\ displaystyle P ^ {-1}}の行ベクトルは、A {\ displaystyle A}の左固有ベクトルです。

複素行列A {\ displaystyle A}がエルミート行列（または実行列、対称行列）の場合、A {\ displaystyle A}の固有ベクトルを選択して、Cn {\ displaystyle \ mathbb {C } ^ {n}}（または実行列の場合はRn {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}）。そのような状況では、P {\ displaystyle P}はユニタリ行列（または直交行列）になり、P-1 {\ displaystyle P ^ {-1}}はP {\ displaystyle P}の共役転置に等しくなります（実数の場合、 P {\ displaystyle P}）の転置。

ほとんどの実用的な作業では、コンピューターソフトウェアを使用して行列を数値的に対角化しています。これを実現するための多くのアルゴリズムが存在します。

同時対角化

P-1AP {\ displaystyle P ^ {-1} AP}がすべてのA {\ displaystyle Aの対角行列であるような単一の可逆行列P {\ displaystyle P}が存在する場合、行列のセットは同時に対角化可能であると言われます。セット内。次の定理は、同時に対角化可能な行列を特徴づけます。対角化可能な行列のセットは、そのセットが同時に対角化可能である場合にのみ交換します。 51-53

すべてのn×n {\ displaystyle n \ times n}対角化可能行列（C {\ displaystyle \ mathbb {C}}上の）とn> 1 {\ displaystyle n> 1}のセットは、同時に対角化できません。たとえば、行列

and {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1＆0 \\ 0＆0 \ end {bmatrix}} \ quad {\ text {and}} \ quad {\ begin {bmatrix} 1＆1 \\ 0＆0 \ end {bmatrix}}}

対角化可能ですが、通勤しないため、同時に対角化できません。

セットは、ユニタリ行列によって同時に対角化可能である場合にのみ、通常行列の通勤で構成されます。つまり、セット内のすべてのA {\ displaystyle A}に対してU ∗ AU {\ displaystyle U ^ {*} AU}が対角になるようなユニタリ行列U {\ displaystyle U}が存在します。

リー理論の言語では、同時に対角化可能な行列のセットがトーラルリー代数を生成します。

例

対角化可能な行列

• インボリューションは、実数（および実際には2ではない特性の任意のフィールド）に対して対角化可能であり、対角線には±1があります。
• 有限次数準同型写像は、対角線上に単一性の根を持つC {\ displaystyle \ mathbb {C}}（または、フィールドの特性が準同型写像の次数を分割しない代数的閉体）上で対角化可能です。これは、ユニティの根が異なるため、最小多項式が分離可能であるためです。
• 投影は対角化可能で、対角線上に0と1があります。
• 実対称行列は、直交行列によって対角化可能です。つまり、実対称行列A {\ displaystyle A}が与えられた場合、QTAQ {\ displaystyle Q ^ {\ mathrm {T}} AQ}はいくつかの直交行列Q {\ displaystyle Q}に対して対角です。より一般的には、行列が正常である場合にのみ、行列はユニタリ行列によって対角化可能です。実対称行列の場合、A = AT {\ displaystyle A = A ^ {\ mathrm {T}}}であることがわかります。したがって、明らかにAAT = ATA {\ displaystyle AA ^ {\ mathrm {T}} = A ^ {\ mathrm {T}} A}が成り立ちます。通常の行列の例は、実対称（または歪対称）行列（共分散行列など）およびエルミート行列（または歪エルミート行列）です。無限次元ベクトル空間への一般化については、スペクトル定理を参照してください。

対角化できない行列

一般に、回転行列は実数上で対角化可能ではありませんが、すべての回転行列は複素数フィールド上で対角化可能です。行列が対角化可能でない場合でも、「できる限り最善を尽くす」ことができ、先頭の対角線の固有値と超対角線の1または0で構成される同じ特性を持つ行列を見つけることができます。形。

一部の行列は、どのフィールドでも対角化できません。最も顕著なのは、非ゼロのべき等行列です。これは、より一般的に、固有値の代数的および幾何学的多重度が一致しない場合に発生します。たとえば、考慮してください

C =。{\ displaystyle C = {\ begin {bmatrix} 0＆1 \\ 0＆0 \ end {bmatrix}}。}

この行列は対角化可能ではありません。U-1CU{\ displaystyle U ^ {-1} CU}が対角行列であるような行列U {\ displaystyle U}はありません。実際、C {\ displaystyle C}には1つの固有値（つまりゼロ）があり、この固有値には代数多重度2および幾何学的多重度1があります。

一部の実数行列は実数に対して対角化できません。たとえば、マトリックスを考えます

B =。{\ displaystyle B = {\ begin {bmatrix} 0＆1 \\-1＆0 \ end {bmatrix}}。}

行列B {\ displaystyle B}には実固有値がないため、Q-1BQ {\ displaystyle Q ^ {-1} BQ}が対角行列であるような実行列Q {\ displaystyle Q}はありません。ただし、複素数を許可する場合は、B {\ displaystyle B}を対角化できます。確かに、私たちが取れば

Q =、{\ displaystyle Q = {\ begin {bmatrix} 1＆{\ textrm {i}} \\ {\ textrm {i}}＆1 \ end {bmatrix}}、}

Q-1BQ {\ displaystyle Q ^ {-1} BQ}は対角です。 Bは、角度θ=3π2{\ displaystyle \ theta = {\ tfrac {3 \ pi} {2}}}だけ反時計回りに回転する回転行列であることが簡単にわかります。

上記の例は、対角化可能な行列の合計が対角化可能である必要がないことを示していることに注意してください。

行列を対角化する方法

マトリックスを考える

A =。{\ displaystyle A = {\ begin {bmatrix} 1＆2＆0 \\ 0＆3＆0 \\ 2＆-4＆2 \ end {bmatrix}}。}

この行列には固有値があります

λ1= 3、λ2= 2、λ3= 1。{\ displaystyle \ lambda _ {1} = 3、\ quad \ lambda _ {2} = 2、\ quad \ lambda _ {3} = 1。}

A {\ displaystyle A}は、3つの異なる固有値を持つ3×3 {\ displaystyle 3 \ times 3}行列です。したがって、対角化可能です。 n×n {\ displaystyle n \ times n}行列に正確にn個の固有値がある場合、この行列は対角化可能です。

これらの固有値は、行列Aの対角化された形式で表示される値です。したがって、 Aの固有値を見つけることにより、対角化されています。ここで停止できますが、固有ベクトルを使用してAを対角化することをお勧めします。

A {\ displaystyle A}の固有ベクトルは

v1 =、v2 =、v3 =。{\ displaystyle v_ {1} = {\ begin {bmatrix} -1 \\-1 \\ 2 \ end {bmatrix}}、\ quad v_ {2} = {\ begin { bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \ end {bmatrix}}、\ quad v_ {3} = {\ begin {bmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \ end {bmatrix}}。}

Avk =λkvk。{\ displaystyle Av_ {k} = \ lambda _ {k} v_ {k}であることを簡単に確認できます。}

ここで、P {\ displaystyle P}をこれらの固有ベクトルを列に持つ行列とします。

P =。{\ displaystyle P = {\ begin {bmatrix} -1＆0＆-1 \\-1＆0＆0 \\ 2＆1＆2 \ end {bmatrix}}。}

P {\ displaystyle P}には固有ベクトルの優先順序がないことに注意してください。 P {\ displaystyle P}の固有ベクトルの順序を変更すると、A {\ displaystyle A}の対角化形式の固有値の順序が変更されます。

次に、P {\ displaystyle P}は、適切な方法を使用してP-1 {\ displaystyle P ^ {-1}}を計算して、単純な計算で確認されるように、A {\ displaystyle A}を対角化します。

P−1AP = 0−10201−1101200302−42 =。{\ displaystyle P ^ {-1} AP = {\ begin {bmatrix} 0＆-1＆0 \\ 2＆0＆1 \\-1＆1＆0 \ end {bmatrix}} {\ begin { bmatrix} 1＆2＆0 \\ 0＆3＆0 \\ 2＆-4＆2 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} -1＆0＆-1 \\-1＆0＆0 \\ 2＆1＆2 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 3＆0＆0 \\ 0＆2＆0 \\ 0＆0＆1 \ end {bmatrix}}。}

実際、これは、標準ベースe1、e2、e3 {\ displaystyle e_ {1}、e_ {2}、e_ {3}}に対して次のように抽象化されています。

P−1APek = P−1Avk = P−1λkvk =λkek。{\ displaystyle P ^ {-1} APe_ {k} = P ^ {-1} Av_ {k} = P ^ {-1} \ lambda _ {k } v_ {k} = \ lambda _ {k} e_ {k}。}

ここで、Pek = vk {\ displaystyle Pe_ {k} = v_ {k}}がP {\ displaystyle P}のk番目の列であるため、P-1vk = ek {\ displaystyle P ^ { -1} v_ {k} = e_ {k}}。固有値λk{\ displaystyle \ lambda _ {k}}が対角行列に現れることに注意してください。

アプリケーション

行列が対角化可能であれば、対角化を使用して行列A {\ displaystyle A}のべき乗を効率的に計算できます。私たちがそれを見つけたと仮定します

P-1AP =D⇒PP-1APP-1=PDP-1⇒A= PDP-1 {\ displaystyle P ^ {-1} AP = D \ Rightarrow PP ^ {-1} APP ^ {-1} = PDP ^ {-1} \ Rightarrow A = PDP ^ {-1}}

ここで、D {\ displaystyle D}は対角行列です。次に、行列積が結合的であるため、

Ak =（PDP−1）k =（PDP−1）⋅（PDP−1）⋯（PDP−1）= PD（P−1P）D（P−1P）⋯（P−1P）DP−1 = PDkP −1 {\ displaystyle {\ begin {aligned} A ^ {k}＆= \ left（PDP ^ {-1} \ right）^ {k} = \ left（PDP ^ {-1} \ right）\ cdot \ left（PDP ^ {-1} \ right）\ cdots \ left（PDP ^ {-1} \ right）\\＆= PD \ left（P ^ {-1} P \ right）D \ left（P ^ { -1} P \ right）\ cdots \ left（P ^ {-1} P \ right）DP ^ {-1} \\＆= PD ^ {k} P ^ {-1} \ end {aligned}}}

後者は対角行列のべき乗のみを含むため、計算が簡単です。このアプローチは、べき級数として定義できる行列指数関数および他の行列関数に一般化できます。

これは、フィボナッチ数などの線形再帰シーケンスの項の閉形式の式を見つけるのに特に役立ちます。

特定のアプリケーション

たとえば、次のマトリックスを考えます。

M =。{\ displaystyle M = {\ begin {bmatrix} a＆b-a \\ 0＆b \ end {bmatrix}}。}

M {\ displaystyle M}のさまざまなパワーを計算すると、驚くべきパターンが明らかになります。

M2 =、M3 =、M4 =、…{\ displaystyle M ^ {2} = {\ begin {bmatrix} a ^ {2}＆b ^ {2} -a ^ {2} \\ 0＆b ^ {2} \ end {bmatrix}}、\ quad M ^ {3} = {\ begin {bmatrix} a ^ {3}＆b ^ {3} -a ^ {3} \\ 0＆b ^ {3} \ end {bmatrix}}、\クワッドM ^ {4} = {\ begin {bmatrix} a ^ {4}＆b ^ {4} -a ^ {4} \\ 0＆b ^ {4} \ end {bmatrix}}、\ quad \ ldots}

上記の現象は、M {\ displaystyle M}を対角化することで説明できます。これを実現するには、M {\ displaystyle M}の固有ベクトルで構成されるR2 {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}の基礎が必要です。そのような固有ベクトル基底の1つは、

u == e1、v == e1 + e2、{\ displaystyle \ mathbf {u} = {\ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix}} = \ mathbf {e} _ {1}、\ quad \ mathbf {v} = {\ begin {bmatrix} 1 \\ 1 \ end {bmatrix}} = \ mathbf {e} _ {1} + \ mathbf {e} _ {2}、}

ここで、 e iはR nの標準基底を示します。基底の逆の変化は

e1 = u、e2 = v−u。{\ displaystyle \ mathbf {e} _ {1} = \ mathbf {u}、\ qquad \ mathbf {e} _ {2} = \ mathbf {v}-\ mathbf { u}。}

簡単な計算は、

Mu = au、Mv = bv。{\ displaystyle M \ mathbf {u} = a \ mathbf {u}、\ qquad M \ mathbf {v} = b \ mathbf {v}。}

したがって、 aとbは、それぞれuとvに対応する固有値です。行列乗算の線形性により、

Mnu = anu、Mnv = bnv。{\ displaystyle M ^ {n} \ mathbf {u} = a ^ {n} \、\ mathbf {u}、\ qquad M ^ {n} \ mathbf {v} = b ^ {n} \、\ mathbf {v}。}

標準に戻すと、

Mne1 = Mnu = ane1、Mne2 = Mn（v−u）= bnv−anu =（bn−an）e1 + bne2。{\ displaystyle {\ begin {aligned} M ^ {n} \ mathbf {e} _ {1 }＆= M ^ {n} \ mathbf {u} = a ^ {n} \ mathbf {e} _ {1}、\\ M ^ {n} \ mathbf {e} _ {2}＆= M ^ { n} \ left（\ mathbf {v}-\ mathbf {u} \ right）= b ^ {n} \ mathbf {v} -a ^ {n} \ mathbf {u} = \ left（b ^ {n} -a ^ {n} \ right）\ mathbf {e} _ {1} + b ^ {n} \ mathbf {e} _ {2}。\ end {aligned}}}

上記の関係は、行列形式で表され、次のとおりです。

Mn =、{\ displaystyle M ^ {n} = {\ begin {bmatrix} a ^ {n}＆b ^ {n} -a ^ {n} \\ 0＆b ^ {n} \ end {bmatrix}}、}

これにより、上記の現象を説明します。

量子力学的応用

量子力学および量子化学計算では、行列の対角化は最も頻繁に適用される数値プロセスの1つです。基本的な理由は、時間に依存しないシュレディンガー方程式は、無限次元空間（ヒルベルト空間）の物理的状況のほとんどであるにもかかわらず、固有値方程式であるためです。

非常に一般的な近似は、ヒルベルト空間を有限次元に切り捨てることです。その後、シュレディンガー方程式を実対称または複素エルミート行列の固有値問題として定式化できます。正式には、この近似は変分原理に基づいており、下から制限されているハミルトニアンに有効です。

1次摂動理論は、縮退状態の行列固有値問題にもつながります。