デミハイパーキューブ
幾何学では、（また、N- demicubes呼ばれる、N-hemicubes、 半メジャーポリトープ ）demihypercubesは、ハイパーキューブファミリー、γNの半分であるためhγnとして標識されたn型超立方体の交互から構成N-ポリトープのクラスです。頂点の半分が削除され、新しいファセットが形成されます。 2nファセットは2n （n-1）-デミキューブになり、削除された頂点の代わりに2n （n-1）-シンプレックスファセットが形成されます。
彼らは、各ハイパーキューブ名にdemi-接頭辞で命名されています：などdemicube、demitesseract、demicubeは正四面体と同一であり、demitesseractは、通常の16-細胞と同一です。 demipenteractは、規則的なファセットのみを持つため、 半規則と見なされます。上位のフォームには、すべての規則的なファセットはありませんが、すべて均一なポリトープです。
demihypercubeの頂点とエッジは、半分の立方体グラフの2つのコピーを形成します。
nが偶数の場合、nデミキューブは反転対称性を持ちます。
発見
Thorold Gossetは、1900年の出版物で、3を超えるn次元のすべての正則および半正則の数字をリストした半正則について説明しました。彼はそれを5-ic準正則と呼びました。また、半規則的なk21ポリトープファミリー内に存在します。
demihypercubesは、{4,3、...、3}の頂点の半分としてh {4,3、...、3}の形式の拡張Schläfliシンボルで表すことができます。 demihypercubesの頂点図形は、修正されたnシンプレックスです。
構造
これらは、3つの構成形式のCoxeter-Dynkinダイアグラムで表されます。
- ...（代替オーソトープとして）s {21,1 ...、1}
- ...（代替ハイパーキューブとして）h {4,3n-1}
- ....（デミハイパーキューブとして）{31、n-3,1}
また、HSMコクセターは3番目の分岐図に、3つの分岐の長さを表す1k1とラベルを付け、環状の分岐を先導しました。
nが2より大きいn- デミキューブは 、各頂点でn *（n-1）/ 2のエッジが交わっています。以下のグラフは、対称投影でエッジが重なっているため、各頂点のエッジが少なくなっています。
| n | 1k1 | ペトリー ポリゴン | シュレーフリのシンボル | コクセター図 A1n Bn Dn | 要素 | ファセット： デミハイパーキューブ＆ シンプレックス | 頂点図 | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 頂点 | エッジ | 顔 | 細胞 | 4面 | 5面 | 6面 | 7面 | 8面 | 9面 | |||||||
| 2 | 1−1,1 | デミスクエア （ディゴン） | s {2} h {4} {31、-1,1} | 2 | 2 | 2つのエッジ | - | |||||||||
| 3 | 101 | デミキューブ （四面体） | s {21,1} h {4,3} {31,0,1} | 4 | 6 | 4 | （6ディゴン） 4つの三角形 | 三角形 （正三角形） | ||||||||
| 4 | 111 | デミテセラクト （16セル） | s {21,1,1} h {4,3,3} {31,1,1} | 8 | 24 | 32 | 16 | 8デミキューブ （四面体） 8四面体 | 八面体 （正四面体） | |||||||
| 5 | 121 | デミペンタクト | s {21,1,1,1} h {4,33} {31,2,1} | 16 | 80 | 160 | 120 | 26 | 10個の16セル 16 5セル | 整流5セル | ||||||
| 6 | 131 | デミヘキサクラクト | s {21,1,1,1,1} h {4,34} {31,3,1} | 32 | 240 | 640 | 640 | 252 | 44 | 12 デミペンタクト 32 5シンプレックス | 整流ヘキサテロン | |||||
| 7 | 141 | デミヘプタラクト | s {21,1,1,1,1,1,1} h {4,35} {31,4,1} | 64 | 672 | 2240 | 2800 | 1624 | 532 | 78 | 14 デミヘキサクラクト 64 6シンプレックス | 整流6シンプレックス | ||||
| 8 | 151 | 半八 | s {21,1,1,1,1,1,1,1} h {4,36} {31,5,1} | 128 | 1792 | 7168 | 10752 | 8288 | 4032 | 1136 | 144 | 16 デミヘプタラクト 128 7シンプレックス | 修正された7シンプレックス | |||
| 9 | 161 | デミエンナークト | s {21,1,1,1,1,1,1,1,1} h {4,37} {31,6,1} | 256 | 4608 | 21504 | 37632 | 36288 | 23520 | 9888 | 2448 | 274 | 18 デミオクト 256 8シンプレックス | 整流8シンプレックス | ||
| 10 | 171 | デミデ | s {21,1,1,1,1,1,1,1,1,1} h {4,38} {31,7,1} | 512 | 11520 | 61440 | 122880 | 142464 | 115584 | 64800 | 24000 | 5300 | 532 | 20 デミエンナークト 512 9シンプレックス | 修正された9シンプレックス | |
| ... | ||||||||||||||||
| n | 1n-3,1 | n-デミキューブ | s {21,1、...、1} h {4,3n-2} {31、n-3,1} | ... ... ... | 2n-1 | n（n-1）-デミキューブ 2n（n-1）-シンプレックス | 整流（n-1）-シンプレックス | |||||||||
一般に、デミキューブの要素は元のnキューブから決定できます：（Cn、m = mth -n-cubeのフェイスカウント= 2n-m * n！/（m！*（nm）！））
- 頂点： Dn、0 = 1/2 * Cn、0 = 2n-1（nキューブの頂点の半分が残る）
- エッジ： Dn、1 = Cn、2 = 1/2 n（n-1）2n-2（すべての元のエッジが失われ、各正方形の面が新しいエッジを作成します）
- 面： Dn、2 = 4 * Cn、3 = n（n-1）（n-2）2n-3（元の面はすべて失われ、各キューブは4つの新しい三角形の面を作成します）
- セル： Dn、3 = Cn、3 + 2n-4Cn、4（元のセルからの四面体と新しいセル）
- ハイパーセル： Dn、4 = Cn、4 + 2n-5Cn、5（それぞれ16セルと5セル）
- ...
- ：Dn、m = Cn、m + 2n-1-mCn、m + 1（それぞれmデミキューブおよびmシンプレックス）
- ...
- ファセット： Dn、n-1 = n + 2n（それぞれ（n-1）-demicubesおよび（n-1）-simplices）
対称グループ
demihypercubeの対称グループはCoxeterグループDnです。{\ displaystyle D_ {n}、}の順序は2n-1n！、{\ displaystyle 2 ^ {n-1} n !,}であり、超八面体グループ（コクセターグループBCn {\ displaystyle BC_ {n}}）。これは、座標軸の順列と座標軸のペアに沿った反射によって生成されます。
同所構造
オルソトープの代替としての構造は同じトポロジーを持ちますが、対称のn軸で異なる長さで伸ばすことができます。
菱形のディフェノイドは、交互立方体としての3次元の例です。 3組のエッジの長さと、鱗の三角形の面があります。
