変形理論
数学では、 変形理論は、εは小さな数、又は少量のベクトルであり、わずかに異なるソリューションPの ε、に問題の解Pを変化させるに関連付けられた微小条件の研究です。したがって、無限小条件は、微分計算のアプローチを制約付きの問題の解決に適用した結果です。同様に、完全に剛性ではなく、わずかに変形して外部から加えられる力に対応する構造を考えることができます。これが名前の説明です。
いくつかの特徴的な現象は次のとおりです。ε量を無視できる二乗を持つものとして扱うことによる1次方程式の導出。 ソリューションを変更することは不可能であるか 、新しいものをもたらさないという点で、 孤立したソリューションの可能性。そして、それらの解が小さな変動を提供するように、微小制約が実際に「統合」するかどうかの問題。いくつかの形式では、これらの考慮事項には数世紀にわたる数学の歴史がありますが、物理学と工学の歴史もあります。たとえば、数値の幾何学では、 分離定理と呼ばれる結果のクラスが認識され、特定のソリューションの周りの（グループアクションの） 開軌道のトポロジカルな解釈が行われました。摂動論は、一般的に演算子の変形にも注目します。
複雑な多様体の変形
数学の最も顕著な変形理論は、複雑な多様体と代数多様体の理論でした。これは、小代邦彦とドナルドC.スペンサーの基礎研究によって確固たるものになりました。変形技術は、代数幾何学のイタリアの学校でより多くの暫定的な応用を受けました。直感的に、一次の変形理論はザリスキー正接空間をモジュライ空間と同一視するはずであると予想されます。ただし、一般的なケースでは、現象はかなり微妙であることがわかります。
リーマン表面の場合、リーマン球上の複雑な構造が孤立している（モジュライなし）ことを説明できます。属1の場合、楕円関数理論に示されているように、楕円曲線は複雑な構造の1つのパラメーターファミリを持ちます。一般的な小平・スペンサー理論は、変形理論の鍵として層コホモロジーグループを特定します。
H1（Θ）{\ displaystyle H ^ {1}（\ Theta）\、}ここで、Θは正則接線束（の断面の胚芽の束）です。同じ束のH 2に障害物があります。一般的な寸法上の理由から、曲線の場合は常にゼロです。属0の場合、 H 1も消えます。属1の場合、次元はHodge数h 1,0であり、したがって1です。属1のすべての曲線はy 2 = x 3 + ax + bの形式の方程式を持っていることが知られています。これらは明らかに2つのパラメーターaとbに依存しますが、そのような曲線の同型クラスにはパラメーターが1つしかありません。したがって、同型楕円曲線を記述するaとbに関連する方程式が必要です。 b 2 a -3が同じ値を持つ曲線は、同型曲線を表すことがわかります。すなわち、aとbを変化させることは、曲線y 2 = x 3 + ax + bの構造を変形させる1つの方法ですが、a、bのすべてのバリエーションが実際に曲線の同型クラスを変えるわけではありません。
属g > 1の場合、Serre双対性を使用してH 1を
H0（Ω）{\ displaystyle H ^ {0}（\ Omega ^ {}）}ここで、Ωは正則余接バンドルであり、表記Ωはテンソル平方を意味します（2番目の外部パワーではありません ）。言い換えると、変形はリーマン面上の正則二次微分によって制御されます。これも古典的に知られています。この場合、テイヒミュラー空間と呼ばれるモジュライ空間の次元は、リーマン・ロッホの定理により3 g − 3として計算されます。
これらの例は、あらゆる次元の複雑な多様体の正則族に適用される理論の始まりです。さらなる開発が含まれています：スペンサーによる微分幾何学の他の構造への技術の拡張。小平–スペンサー理論のグロタンディークの抽象的な代数幾何学への同化と、その後の初期の研究の実質的な明確化。代数などの他の構造の変形理論。
機能説明
変形理論を形式化する別の方法は、フィールド上のローカルアルチン代数のカテゴリArtk {\ displaystyle {\ text {Art}} _ {k}}でファンクターを使用することです。 変形前ファンクターはファンクターとして定義されます
F：Artk→Sets {\ displaystyle F：{\ text {Art}} _ {k} \ to {\ text {Sets}}}F（k）{\ displaystyle F（k）}がポイントになるように。直観は、ある点の周りのモジュラス空間の無限小構造を研究したいということです。その点の上にあることが関心空間です。通常は、実際の空間を見つけるのではなく、モジュライ問題のファンクターを記述する方が簡単です。たとえば、Pn {\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}の次数d {\ displaystyle d}の超曲面のモジュラス空間を検討する場合、ファンクターを検討できます。
F：Sch→Sets {\ displaystyle F：{\ text {Sch}} \ to {\ text {Sets}}}どこ
F（S）= {X↓S：各繊維はPnの次数d超曲面} {\ displaystyle F（S）= \ left \ {{\ begin {matrix} X \\\ downarrow \\ S \ end {matrix }}：{\ text {各繊維は度です}} d {\ text {超曲面の}} \ mathbb {P} ^ {n} \ right \}}一般に、セットではなくgroupoidのファンクターを使用する方が便利/必要です。これは、曲線の係数に当てはまります。
無限小に関する技術的な発言
微積分は、微積分学の厳密でない議論のために数学者によって長い間使用されてきました。アイデアは、無限小のε{\ displaystyle \ varepsilon}を持つ多項式F（x、ε）{\ displaystyle F（x、\ varepsilon）}を考慮する場合、実際には1次の項のみが重要であるということです。つまり、我々は考慮することができます
F（x、ε）≡f（x）+εg（x）+ O（ε2）{\ displaystyle F（x、\ varepsilon）\ equiv f（x）+ \ varepsilon g（x）+ O（\ varepsilon ^ {2}）}これの簡単な応用は、無限小を使用して単項式の導関数を見つけることができることです：
（x +ε）3 = x3 +3x2ε+ O（ε2）{\ displaystyle（x + \ varepsilon）^ {3} = x ^ {3} + 3x ^ {2} \ varepsilon + O（\ varepsilon ^ {2} ）}ε{\ displaystyle \ varepsilon}項には、単項式の導関数が含まれており、計算での使用を示しています。この式は、単項式のテイラー展開の最初の2つの項として解釈することもできます。無限小数は、局所アルチン代数の無能要素を使用して厳密にすることができます。リングk /（y2）{\ displaystyle k /（y ^ {2}）}で、無限小の引数が機能することがわかります。これは、表記法k = k /（y2）{\ displaystyle k = k /（y ^ {2}）}を動機付けます。
さらに、テイラー近似の高次の項を検討する場合、アルチン代数k /（yk）{\ displaystyle k /（y ^ {k}）}を検討できます。単項式では、2次展開を書きたいと仮定し、
（x +ε）3 = x3 +3x2ε+3xε2+ε3{\ displaystyle（x + \ varepsilon）^ {3} = x ^ {3} + 3x ^ {2} \ varepsilon + 3x \ varepsilon ^ {2} + \バレプシロン^ {3}}テイラー展開（ゼロ）は次のように書き出すことができることを思い出してください
f（x）= f（0）+ f（1）（x）1！+ f（2）（x）2！+ f（3）（x）3！+⋯{\ displaystyle f（x）= f （0）+ {\ frac {f ^ {（1）}（x）} {1！}} + {\ frac {f ^ {（2）}（x）} {2！}} + {\ frac { f ^ {（3）}（x）} {3！}} + \ cdots}したがって、前の2つの式は、x3 {\ displaystyle x ^ {3}}の2次導関数が6x {\ displaystyle 6x}であることを示しています。
一般に、任意の数の変数で任意のオーダーのテイラー展開を検討するため、フィールド上のすべてのローカルアルチン代数のカテゴリを検討します。
動機
変形前ファンクターの定義を動機付けるには、フィールド上の射影超曲面を考慮します
Proj（C（x04 + x14 + x24 + x34））↓Spec（k）{\ displaystyle {\ begin {matrix} \ operatorname {Proj} \ left（{\ dfrac {\ mathbb {C}} {（x_ {0} ^ {4} + x_ {1} ^ {4} + x_ {2} ^ {4} + x_ {3} ^ {4}）}} \ right）\\\ downarrow \\\ operatorname {Spec }（k）\ end {matrix}}}この空間の微小変形を考慮したい場合、デカルト正方形を書き留めることができます
Proj（C（x04 + x14 + x24 + x34））→Proj（Cx0、x1、x2、x3（x04 + x14 + x24 + x34 +εx0a0x1a1x2a2x3a3））↓↓Spec（k）→Spec（k） {\ displaystyle {\ begin {matrix} \ operatorname {Proj} \ left（{\ dfrac {\ mathbb {C}} {（x_ {0} ^ {4} + x_ {1} ^ {4} + x_ {2 } ^ {4} + x_ {3} ^ {4}）}} \ right）＆\ to＆\ operatorname {Proj} \ left（{\ dfrac {\ mathbb {C} x_ {0}、x_ {1} 、x_ {2}、x_ {3}} {（x_ {0} ^ {4} + x_ {1} ^ {4} + x_ {2} ^ {4} + x_ {3} ^ {4} + \バレプシロンx_ {0} ^ {a_ {0}} x_ {1} ^ {a_ {1}} x_ {2} ^ {a_ {2}} x_ {3} ^ {a_ {3}}）}} \ right ）\\\ downarrow && \ downarrow \\\ operatorname {Spec}（k）＆\ to＆\ operatorname {Spec}（k）\ end {matrix}}}ここで、a0 + a1 + a2 + a3 = 4 {\ displaystyle a_ {0} + a_ {1} + a_ {2} + a_ {3} = 4}。次に、右隅のスペースは、無限小変形の1つの例です。Spec（k）{\ displaystyle \ operatorname {Spec}（k）}（トポロジー的には点である）この無限小データを整理できます。考えられるすべての展開を検討するため、事前変形ファンクターをオブジェクトで次のように定義します。
F（A）= {Proj（C（x04 + x14 + x24 + x34））→X↓↓Spec（k）→Spec（A）} {\ displaystyle F（A）= \ left \ {{\ begin {matrix} \ operatorname {Proj} \ left（{\ dfrac {\ mathbb {C}} {（x_ {0} ^ {4} + x_ {1} ^ {4} + x_ {2} ^ {4} + x_ {3} ^ {4}）}} \ right）＆\ to＆{\ mathfrak {X}} \\\ downarrow && \ downarrow \\\ operatorname {Spec}（k）＆\ to＆\ operatorname {仕様}（A）\ end {matrix}} \ right \}}ここで、A {\ displaystyle A}はローカルArtin k {\ displaystyle k}-代数です。
スムーズな変形前ファンクター
カーネル内の任意の要素の二乗がゼロになるような任意の射影A '→A {\ displaystyle A' \ to A}の場合、事前変形ファンクターはスムーズと呼ばれます。
F（A '）→F（A）{\ displaystyle F（A'）\ to F（A）}これは、次の質問が動機となっています。
X→X↓↓Spec（k）→Spec（A）{\ displaystyle {\ begin {matrix} X＆\ to＆{\ mathfrak {X}} \\\ downarrow && \ downarrow \\\ operatorname {Spec} （k）＆\ to＆\ operatorname {Spec}（A）\ end {matrix}}}このデカルト図のデカルト図への拡張はありますか
X→X→X ′↓↓↓Spec（k）→Spec（A）→Spec（A′）{\ displaystyle {\ begin {matrix} X＆\ to＆{\ mathfrak {X}}＆\ to ＆{\ mathfrak {X}} '\\\ downarrow && \ downarrow && \ downarrow \\\ operatorname {Spec}（k）＆\ to＆\ operatorname {Spec}（A）＆\ to＆\ operatorname {Spec} （A '）\ end {matrix}}}スムーズという名前は、スキームのスムーズなモルフィズムのリフティング基準に由来しています。
接線空間
スキームX {\ displaystyle X}のタンジェント空間はHom {\ displaystyle \ operatorname {Hom}} -setとして記述できることを思い出してください
TX：= HomSch /k（Spec（k）、X）{\ displaystyle TX：= \ operatorname {Hom} _ {{\ text {Sch}} / k}（\ operatorname {Spec}（k）、X ）}いくつかのモジュラス空間の点の接線空間を検討しているため、（前）変形ファンクターの接線空間を次のように定義できます。
TF：= F（k）{\ displaystyle T_ {F}：= F（k）}変形理論の応用
ベンドアンドブレイク
変形理論は、森茂文によって双有理幾何学で有名に適用され、品種の有理曲線の存在を研究しました。ファノのさまざまな正の次元について、森はすべての点を通る合理的な曲線があることを示しました。証明の方法は後に森の曲げと破壊として知られるようになりました。大まかなアイデアは、選択したポイントを通る曲線Cから始めて、いくつかのコンポーネントに分割されるまで変形を続けることです。 Cをコンポーネントの1つで置き換えると、属またはCの次数が減少します。そのため、手順を数回繰り返した後、最終的に属0の曲線、つまり有理曲線を取得します。 Cの変形の存在と特性には、変形理論からの議論と正の特性への還元が必要です。
算術変形
変形理論の主要な用途の1つは、算術です。次の質問に答えるために使用できます。さまざまなX / Fp {\ displaystyle X / \ mathbb {F} _ {p}}がある場合、可能な拡張X / Zp {\ displaystyle {\ mathfrak {X }} / \ mathbb {Z} _ {p}}？多様性が曲線の場合、消失するH2 {\ displaystyle H ^ {2}}は、すべての変形がZp {\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}にわたって多様性を誘発することを意味します。つまり、滑らかな曲線がある場合
X↓Spec（Fp）{\ displaystyle {\ begin {matrix} X \\\ downarrow \\\ operatorname {Spec}（\ mathbb {F} _ {p}）\ end {matrix}}}そして変形
X→X2↓↓Spec（Fp）→Spec（Z /（p2））{\ displaystyle {\ begin {matrix} X＆\ to＆{\ mathfrak {X}} _ {2} \\\ downarrow && \下矢印\\\ operatorname {Spec}（\ mathbb {F} _ {p}）＆\ to＆\ operatorname {Spec}（\ mathbb {Z} /（p ^ {2}））\ end {matrix}}}その後、いつでもフォームの図に拡張できます
X→X2→X3→⋯↓↓↓Spec（Fp）→Spec（Z /（p2））→Spec（Z /（p3））→⋯{\ displaystyle {\ begin {matrix} X＆\ to＆ {\ mathfrak {X}} _ {2}＆\ to＆{\ mathfrak {X}} _ {3}＆\ to \ cdots \\\ downarrow && \ downarrow && \ downarrow＆\\\ operatorname {Spec}（ \ mathbb {F} _ {p}）＆\ to＆\ operatorname {Spec}（\ mathbb {Z} /（p ^ {2}））＆\ to＆\ operatorname {Spec}（\ mathbb {Z} / （p ^ {3}））＆\ to \ cdots \ end {matrix}}}これは、公式スキームX =Spet（X∙）{\ displaystyle {\ mathfrak {X}} = \ operatorname {Spet}（{\ mathfrak {X}} _ {\ bullet}）}を構築できることを意味します。 Zp {\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}上の曲線。
アーベルスキームの変形
セレ-テイト定理は、アーベルスキームAの変形をp -divisible基A {\ displaystyleのA}そのPからなる-powerトーション点の変形によって制御されること、大まかに、アサートします。
ガロア変形
変形理論の別のアプリケーションは、ガロア変形です。質問に答えることができます：ガロア表現がある場合
G→GLn（Fp）{\ displaystyle G \ to \ operatorname {GL} _ {n}（\ mathbb {F} _ {p}）}どのようにそれを表現に拡張できますか
G→GLn（Zp）？{\ displaystyle G \ to \ operatorname {GL} _ {n}（\ mathbb {Z} _ {p}）{\ text {？}}}弦理論との関係
代数（およびホッホシルトコホモロジー）のコンテキストで発生するいわゆるデリニュ予想は、ひも理論に関連した変形理論への大きな関心を刺激しました（大まかに言って、ひも理論を点の変形と見なすことができるという考えを形式化するために、粒子理論）。これは、早期の発表でいくつかの問題が生じた後、証明されたとおりに受け入れられています。マキシム・コンセビッチは、これについて一般に受け入れられている証拠を提供した人々の中にいます。
