立方平面曲線
数学では、 3次平面曲線は3次方程式で定義される平面代数曲線Cです。
F （ x 、 y 、 z ）= 0射影平面の同次座標x ： y ： zに適用されます。または、そのような方程式でz = 1を設定することによって決定されるアフィン空間の不均一バージョン。ここで、 Fは3次単項式のゼロ以外の線形結合です。
x 3、 y 3、 z 3、 x 2 y 、 x 2 z 、 y 2 x 、 y 2 z 、 z 2 x 、 z 2 y 、 xyz 。これらは10個です。したがって、3次曲線は、任意のフィールドK上で次元9の射影空間を形成します。 CがPを通過するように要求すると、各点PはFに単一の線形条件を課します。したがって、任意の9つのポイントを通る3次曲線を見つけることができます。これらのポイントは縮退している可能性があり、一意ではない場合がありますが、ポイントが一般的な位置にある場合は一意で縮退しません。 2つのポイントが線を決定し、5つのポイントが円錐を決定する方法と比較してください。 2つの立方体が与えられた9点のセットを通過する場合、実際には立方体の鉛筆が通過し、点は追加のプロパティを満たします。 Cayley–Bacharachの定理を参照してください。
3次曲線は特異点を持つ場合があります。その場合、射影線に関してパラメーター化されます。そうでない場合、 非特異 3次曲線は、複素数などの代数的に閉じたフィールド上で9つの変曲点を持つことが知られています。これは、ヘビアン行列の同種バージョンを使用して表示できます。これは、再びキュービックを定義し、それをCと交差させます。その後、交差点はベズーの定理によってカウントされます。ただし、これらの点のうち3つだけが実際のものである可能性があるため、他の点は曲線を描いても実際の投影面に表示されません。非特異立方体の9つの変曲点には、2つを通るすべての線に正確に3つの変曲点が含まれるという特性があります。
3次曲線の実際の点は、Isaac Newtonによって研究されました。非特異射影立方体の実際の点は、1つまたは2つの「楕円」に分類されます。これらの楕円の1つは、すべての実際の射影線と交差するため、立方体がユークリッド平面に描かれたときに境界が定められることはありません。 3つの実際の変曲点を含む1つまたは3つの無限分岐として表示されます。存在する場合、他の楕円は実際の変曲点を含まず、楕円または2つの無限分岐として表示されます。円錐曲線の場合と同様に、線はこの楕円を最大2点で切断します。
非特異平面キュービックは、ポイントが定義されているフィールドK上の楕円曲線を定義します。楕円曲線は、通常、ワイエルシュトラスの楕円関数のいくつかの変形で研究され、立方体の平方根を抽出することにより作成される有理関数のフィールドの二次拡張を定義します。これは、ワイエルシュトラス形式で無限遠点として機能するK合理的な点を持つことに依存します。たとえば、 Kが有理数体の場合、そのような点を持たない多くの3次曲線があります。
既約平面3次曲線の特異点は非常に限られています：1つの二重点、または1つのカスプ。簡約可能な平面3次曲線は、円錐と線または3本の線のいずれかであり、したがって、2つの二重点またはtacnode（円錐と線の場合）、または最大3つの二重点または単一の三重点（同時線） 3行。
三角形の平面内の3次曲線
ABCが辺の長さa = |を持つ三角形であるとしますBC |、 b = | CA |、 c = | AB |。 ABCに関連して 、多くの名前付きキュービックは既知のポイントを通過します。以下に示す例では、2種類の同次座標を使用します：トリリニアと重心。
3次方程式でトリリニアから重心に変換するには、次のように置き換えます。
X↦BCX、Y↦ ケイ 、Z↦ABZ。重心からトリリニアに変換するには、使用
X↦AX、Y↦ によって 、Z↦CZ。立方体の多くの方程式の形式は
f （ a 、 b 、 c 、 x 、 y 、 z ）+ f （ b 、 c 、 a 、 y 、 z 、 x ）+ f （ c 、 a 、 b 、 z 、 x 、 y ）= 0以下の例では、このような方程式は、次のように「循環和表記」でより簡潔に記述されています。
= 0。以下にリストするキュービックは、 ABCのサイドライン上にない点Xの X *で示される等角共役の観点から定義できます。 X *の構造が続きます。 LAを角度Aの内角二等分線に関する線XAの反射とし、 LBおよびLCを同様に定義します。次に、3つの反射線がX *で一致します。トリリニア座標で、 X = x ： y ： zの場合、 X * = 1 / x ：1 / y ：1 / z 。
ニューバーグキュービック
トライリニア方程式：= 0
重心方程式：= 0
ノイベルク立方体（ジョセフジャンバプティストノイベルクにちなんで命名）は、 X *が線EX上にある点Xの軌跡です。ここで、 Eはオイラー無限大点（三角形センターの百科事典のX （30））です。また、この立方体はXの軌跡であるため、三角形XAXBXCはABCを透視します。ここで、 XAXBXCはそれぞれBC 、 CA 、 ABのXの反射です
ノイベルク立方体は、次の点を通過します：中心、外心、直交中心、両方のフェルマー点、両方の等力点、オイラー無限点、他の三角形の中心、外心、 ABCのサイドラインのA 、 B 、 Cの反射、およびABCの側面に立てられた6つの正三角形の頂点。
ノイベルク立方体の特性のグラフィカルな表現と広範なリストについては、三角形平面のベルハルトギバートの立方体でK001を参照してください。
トムソンキュービック
トライリニア方程式：= 0
重心方程式：= 0
トムソン3次は、 X *が線GX上にある点Xの軌跡です。ここで、 Gは重心です。
トムソン立方体は、次の点を通過します：中心、重心、外心、直交中心、交点、他の三角形の中心、頂点A 、 B 、 C 、外心、辺BC 、 CA 、 ABの中間点、およびABCの高度。立方体の各点Pについて、立方体の副線上ではなく、 Pの等角共役も立方体上にあります。
グラフとプロパティについては、三角形平面の立方体の K002を参照してください。
ダルブーキュービック
トライリニア方程式：= 0
重心方程式：= 0
Darbouxキュービックは、 X *が線LX上にあるような点Xの軌跡です。ここで、 Lはde Longchamps点です。また、この立方はXのペダル三角形が（ルーカス立方上にある）は、いくつかの点のセビアンなるようにXの軌跡です。また、この立方はXのペダル三角形及びXのanticevian三角形が視点であるように、点Xの軌跡です。パースペクターはトムソン立方体にあります。
Darboux立方体は、外接円上の中心、外心、直交中心、ロングシャンプポイント、他の三角形の中心、頂点A 、 B 、 C 、外心、およびA 、 B 、 Cの対podを通過します。立方体の各点Pについて、立方体の副線上ではなく、 Pの等角共役も立方体上にあります。
グラフィックスとプロパティについては、三角形平面の立方体の K004を参照してください。
ナポレオン–フォイエルバッハ立方
トライリニア方程式：= 0
重心方程式：= 0
Napoleon–Feuerbach立方体は、点X *がNX上の直線上の点の軌跡です。ここで、 Nは9点の中心です（三角形の中心の百科事典ではN = X （5））。
Napoleon–Feuerbach立方体は、中心、外心、直交中心、1番目と2番目のナポレオンポイント、他の三角形の中心、頂点A 、 B 、 C 、外心、高度の重心の投影、および6の中心を通過します。 ABCの両側に正三角形が設置されています。
グラフィックスとプロパティについては、三角形平面の立方体の K005を参照してください。
ルーカスキュービック
トライリニア方程式：= 0
重心方程式：= 0
ルーカス立方は、Xのセビアン三角形は、いくつかの点のペダル三角形であるように、点Xの軌跡です。ポイントはDarbouxキュービックにあります。
ルーカスキュービックは、重心、直交中心、ゲルゴンヌ点、ネーゲル点、ロンシャン点、その他の三角形の中心、反相補三角形の頂点、およびシュタイナー外接楕円の焦点を通過します。
グラフィックスとプロパティについては、三角形平面の立方体の K007を参照してください。
最初のブロカードキュービック
トライリニア方程式：= 0
重心方程式：= 0
A ' B ' C 'を最初のブロカール三角形とします。任意の点Xについて、 XA 、 XB 、 XCをそれぞれ線XA '、 XB '、 XC 'とサイドラインBC 、 CA 、 ABとの交点とします。 1番目のBrocardキュービックは、点XA 、 XB 、 XCが同一線上にあるXの軌跡です。
1番目のBrocard立方体は、重心、symmedianポイント、Steinerポイント、他の三角形の中心、および1番目と3番目のBrocard三角形の頂点を通過します。
グラフィックスやプロパティの場合、 トライアングル面でCubicsでK017を参照してください。
2番目のブロカードキュービック
トライリニア方程式：= 0
重心方程式：= 0
2番目のBrocard立方体は、 XとX *を通る外接円の線XX *の極が外心と交点（Brocard軸）の線上にある点Xの軌跡です。
2番目のBrocard立方体は、重心、中間点、両方のFermat点、両方のアイソダイナミックポイント、Parryポイント、他の三角形の中心、および2番目と4番目のBrocard三角形の頂点を通過します。
グラフィックスやプロパティの場合、 トライアングル平面内のCubicsでK018を参照してください。
最初の等面積立方体
トライリニア方程式：= 0
重心方程式：= 0
立方1等しい領域がXのセビアン三角形の面積は、X * のセビアン三角形の面積が等しくなるように、点Xの軌跡です。また、この立方体はXの軌跡であり、 X *は線S * X上にあります。ここで、 Sはシュタイナー点です。 （ S = X （99）トライアングルセンターの百科事典）。
1番目の等しい面積の立方体は、中心、シュタイナーポイント、他の三角形の中心、1番目と2番目のブロカードポイント、および外心を通過します。
グラフィックスやプロパティの場合、 トライアングル平面内のCubicsでK021を参照してください。
2番目の等面積立方体
トライリニア方程式：（ bz + cx ）（ cx + ay ）（ ay + bz ）=（ bx + cy ）（ cy + ax ）（ az + bx ）
重心方程式：= 0
任意の点X = x ： y ： z （trilinears）について、 XY = y ： z ： xおよびXZ = z ： x ： yとします。 2番目の等しい面積の立方体は、 XYのセビアンの三角形の面積がXZのセビアンの三角形の面積に等しくなるようなXの軌跡です。
2番目の等しい面積の立方体は、中心（中心）、中心点、およびX （31）、 X （105）、 X （238）、 X （292）、 X （365）、 Xとしてインデックス付けされた三角形中心百科事典の点を通過します（672）、 X （1453）、 X （1931）、 X （2053）など。
グラフィックスやプロパティの場合、 トライアングル平面内のCubicsでK155を参照してください。
