連続（数学）
代数では、 連続体は三重対角行列の行列式を表す多変量多項式であり、一般化された連続分数に適用されます。
定義
n番目の連続 Kn（x1、x2、…、xn）{\ displaystyle K_ {n}（x_ {1}、\; x_ {2}、\; \ ldots、\; x_ {n}）}が定義されています再帰的に
K0 = 1; {\ displaystyle K_ {0} = 1; \、} K1（x1）= x1; {\ displaystyle K_ {1}（x_ {1}）= x_ {1}; \、} Kn（x1、 x2、…、xn）= xnKn−1（x1、x2、…、xn−1）+ Kn-2（x1、x2、…、xn−2）。{\ displaystyle K_ {n}（x_ {1}、 \; x_ {2}、\; \ ldots、\; x_ {n}）= x_ {n} K_ {n-1}（x_ {1}、\; x_ {2}、\; \ ldots、\; x_ {n-1}）+ K_ {n-2}（x_ {1}、\; x_ {2}、\; \ ldots、\; x_ {n-2}）。\、}物性
- 連続的なKn（x1、x2、…、xn）{\ displaystyle K_ {n}（x_ {1}、\; x_ {2}、\; \ ldots、\; x_ {n}）}は次のように計算できます。 x 1、...、 x nのすべての可能な積の合計で、連続する項の任意の数の互いに素なペアが削除されます（ オイラーの規則 ）。たとえば、K5（x1、x2、x3、x4、x5）= x1x2x3x4x5 + x3x4x5 + x1x4x5 + x1x2x5 + x1x2x3 + x1 + x3 + x5。{\ displaystyle K_ {5}（x_ {1}、\; x_ {2 }、\; x_ {3}、\; x_ {4}、\; x_ {5}）= x_ {1} x_ {2} x_ {3} x_ {4} x_ {5} \; + \; x_ {3} x_ {4} x_ {5} \; + \; x_ {1} x_ {4} x_ {5} \; + \; x_ {1} x_ {2} x_ {5} \; + \; x_ {1} x_ {2} x_ {3} \; + \; x_ {1} \; + \; x_ {3} \; + \; x_ {5}。}
- 連続行列は、三重対角行列の行列式として計算できます：Kn（x1、x2、…、xn）= det（x110⋯0-1x21⋱⋮0-1⋱⋱0⋮⋱⋱⋱10⋯0-1xn）。 {\ displaystyle K_ {n}（x_ {1}、\; x_ {2}、\; \ ldots、\; x_ {n}）= \ det {\ begin {pmatrix} x_ {1}＆1＆0＆\ cdots＆0 \ \ -1＆x_ {2}＆1＆\ ddots＆\ vdots \\ 0＆-1＆\ ddots＆\ ddots＆0 \\\ vdots＆\ ddots＆\ ddots＆\ ddots＆1 \\ 0＆\ cdots＆0＆-1＆x_ {n} \ end {pmatrix}}。}
- Kn（1、…、1）= Fn + 1 {\ displaystyle K_ {n}（1、\; \ ldots、\; 1）= F_ {n + 1}}、（ n +1）-stフィボナッチ数。
- Kn（x1、…、xn）Kn−1（x2、…、xn）= x1 + Kn−2（x3、…、xn）Kn−1（x2、…、xn）。{\ displaystyle {\ frac {K_ {n}（x_ {1}、\; \ ldots、\; x_ {n}）} {K_ {n-1}（x_ {2}、\; \ ldots、\; x_ {n}）}} = x_ {1} + {\ frac {K_ {n-2}（x_ {3}、\; \ ldots、\; x_ {n}）} {K_ {n-1}（x_ {2}、\; \ ldots、\; x_ {n}）}}。}
- 連続体の比率は、次のように連続部分を表します（収束）：Kn（x1、…、xn）Kn-1（x2、…、xn）== x1 + 1x2 + 1x3 +…。{\ displaystyle {\ frac {K_ {n }（x_ {1}、\; \ ldots、x_ {n}）} {K_ {n-1}（x_ {2}、\; \ ldots、\; x_ {n}）}} == x_ {1 } + {\ frac {1} {\ displaystyle {x_ {2} + {\ frac {1} {x_ {3} + \ ldots}}}}}}
- 次の行列の同一性が保持されます：（Kn（x1、…、xn）Kn-1（x1、…、xn-1）Kn-1（x2、…、xn）Kn-2（x2、…、xn-1）） =（x1110）×…×（xn110）{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} K_ {n}（x_ {1}、\; \ ldots、\; x_ {n}）＆K_ {n-1}（x_ { 1}、\; \ ldots、\; x_ {n-1}）\\ K_ {n-1}（x_ {2}、\; \ ldots、\; x_ {n}）＆K_ {n-2}（ x_ {2}、\; \ ldots、\; x_ {n-1}）\ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} x_ {1}＆1 \\ 1＆0 \ end {pmatrix}} \ times \ ldots \ times {\ begin {pmatrix} x_ {n}＆1 \\ 1＆0 \ end {pmatrix}}}。
- 行列式については、Kn（x1、…、xn）⋅Kn-2（x2、…、xn-1）−Kn−1（x1、…、xn−1）⋅Kn−1（x2、…、xn ）=（− 1）n。{\ displaystyle K_ {n}（x_ {1}、\; \ ldots、\; x_ {n}）\ cdot K_ {n-2}（x_ {2}、\; \ ldots、\; x_ {n-1}）-K_ {n-1}（x_ {1}、\; \ ldots、\; x_ {n-1}）\ cdot K_ {n-1}（x_ {2 }、\; \ ldots、\; x_ {n}）=（-1）^ {n}。}
- また、Kn−1（x2、…、xn）⋅Kn+ 2（x1、…、xn + 2）−Kn（x1、…、xn）⋅Kn+ 1（x2、…、xn + 2）=（− 1）n + 1xn + 2。{\ displaystyle K_ {n-1}（x_ {2}、\; \ ldots、\; x_ {n}）\ cdot K_ {n + 2}（x_ {1}、\ ; \ ldots、\; x_ {n + 2}）-K_ {n}（x_ {1}、\; \ ldots、\; x_ {n}）\ cdot K_ {n + 1}（x_ {2}、 \; \ ldots、\; x_ {n + 2}）=（-1）^ {n + 1} x_ {n + 2}。}
汎化
K（n）は 、1の多項式であるよう...、nは 、1 B、...、B N-1及びc一般的な定義は、3つのシーケンスa、bおよびcに対してcontinuantを取り1、...、 c n −1。この場合、再帰関係は次のようになります
K0 = 1; {\ displaystyle K_ {0} = 1; \、} K1 = a1; {\ displaystyle K_ {1} = a_ {1}; \、} Kn = anKn-1-bn-1cn-1Kn-2 。{\ displaystyle K_ {n} = a_ {n} K_ {n-1} -b_ {n-1} c_ {n-1} K_ {n-2}。\、}b rとc rは積b r c rとしてのみKに入るため、 b rがすべて1に等しいと仮定しても一般性は失われません。
拡張された連続体は、正確には三重対角行列の行列式です。
（a1b10…00c1a2b2…000c2a3…00⋮⋮⋮⋱⋮⋮000…an−1bn−1000…cn−1an）。{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a_ {1}＆b_ {1}＆0＆\ ldots＆0＆0 \\ c_ {1}＆a_ {2}＆b_ {2}＆\ ldots＆0＆0 \\ 0＆c_ {2}＆a_ {3}＆\ ldots＆0＆0 \\\ vdots＆\ vdots＆\ vdots＆\ ddots＆\ vdots＆\ vdots \ \ 0＆0＆0＆\ ldots＆a_ {n-1}＆b_ {n-1} \\ 0＆0＆0＆\ ldots＆c_ {n-1}＆a_ {n} \ end {pmatrix}}。ミュアの本では、一般化された継続は単に継続と呼ばれます。
