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実数の構築

数学では、実数システムを順序付きフィールドとして定義する方法がいくつかあります。 総合的アプローチは、実数の公理のリストを完全な順序付きフィールドとして与えます 。集合論の通常の公理の下では、公理のモデルが存在するという意味で、これらの公理はカテゴリカルであり、そのような2つのモデルは同型であることを示すことができます。これらのモデルのいずれかを明示的に構築する必要があり、これらのモデルのほとんどは、有理数システムの基本プロパティを順序フィールドとして使用して構築されます。

総合的アプローチ

合成アプローチは、実数システムを完全な順序付きフィールドとして公理的に定義します。正確には、これは次のことを意味します。 実数システムは 、以下を満たす、R上≤集合R、二つの別個の要素0、R 1、2つのバイナリ操作+からなり、R（それぞれ、 加算 、 乗算と呼ばれる）、及びバイナリ関係に× のモデルプロパティ。

公理

  1. （ R 、+、×）はフィールドを形成します。言い換えると、
    • Rのすべてのx 、 y 、およびzについて、 x +（ y + z ）=（ x + y ）+ zおよびx ×（ y × z ）=（ x × y ）× z （加算と乗算の結合性）
    • Rのすべてのxおよびyについて、 x + y = y + xおよびx × y = y × xです。 （加算と乗算の可換性）
    • Rのすべてのx 、 y 、およびzについて、 x ×（ y + z ）=（ x × y ）+（ x × z ）。 （乗算と加算の分布）
    • Rのすべてのxについて、 x + 0 = xです。 （付加的なアイデンティティの存在）
    • 0は1ではなく、 Rのすべてのxに対して 、 x ×1 = xです。 （乗法的アイデンティティの存在）
    • Rのすべてのxに対して 、 x +（− x ）= 0となるRの要素-xが存在します（加法逆行列の存在）
    • Rの x ≠0ごとに、 x × x −1 = 1のようにRに要素x -1が存在します（乗法逆行列の存在）
  2. （ R 、≤）完全に順序付けられたセットを形成します。言い換えると、
    • R内のすべてのxについて、X≤X。 （反射性）
    • R内のすべてのxおよびyのために、もしXの ≤yとY≤Xを、次にX = Y。 （反対称）
    • R内のすべてのx、y及びzは、もしXの ≤のYおよびY≤zを、次いで、X≤Z。 （推移性）
    • Rにおける全てのxとy、X≤YまたはY≤xについて。 （全体）
  3. Rのフィールド演算+および×は、≤の順序と互換性があります。言い換えると、
    • R内のすべてのx、y及びzのために、X≤yを、次いで、X + Zの ≤のY + Z場合。 （追加中の注文の保存）
    • 0≤xおよび0≤yの場合は、R内の全てのxとyのために、次いで、0≤X×Y（乗算下オーダーの保存）
  4. 順序≤は、次の意味で完全です。上に囲まれたRのすべての空でないサブセットには、最小の上限があります。言い換えると、
    • Aは Rの空でない部分集合であり、そしてAは上限がある場合、Aは、Aのすべての上限Vため、Uは Vを ≤ように、少なくとも上限Uを持っている場合。
最小上限プロパティ

順序をデデキント完全にする必要がある公理4は、アルキメデスの財産を暗示しています。

公理は、実在の特性化に不可欠です。たとえば、有理数Qの完全に順序付けられたフィールドは、最初の3つの公理を満たしますが、4番目の公理は満たしません。言い換えれば、有理数のモデルは最初の3つの公理のモデルでもあります。

公理は、個々のそのような数値ではなく実数のコレクションに関するステートメントを表すため、一次順序付け可能ではないことに注意してください。そのため、実数は1次論理理論では与えられません。

モデルについて

公理1〜4のいくつかのモデルを以下に示します。公理1〜4の2つのモデルはすべて同型であるため、同型まで、完全に順序付けられたアルキメデスフィールドは1つだけです。

我々は、上記の公理の任意の2つのモデルが同型であり、我々は、任意の二つのモデル（R 0 R 1 R、+ R、×R、≤R）及び（S、0 S 1 S、+ためのことを意味すると言う場合S、×S、≤S）が 、全単射fが存在する：R→フィールド操作および順序の両方を維持S。明示的に、

  • fは単射と全射の両方です。
  • f （0 R ）= 0 Sおよびf （1 R ）= 1 S
  • Rのすべてのxおよびyについて、 f （ x + R y ）= f （ x ）+ S f （ y ）およびf （ x × R y ）= f （ x ）× S f （ y ）。
  • R内のすべてのxおよびyのために、X≤Rの Y（X）≤S F（y）の場合にのみF場合。

タルスキーの実数の公理化

代替合成実数の公理とその演算のみを以下に示す8つの公理とわずか4つの原始的概念からなる、アルフレッドタルスキによって得た： 実数と呼ばれる集合は、R、 順序と呼ばれるR上の二項関係を示さ中置、インフィックス+で表される添加呼び出さR上バイナリ操作と、定数1で表されます。

順序の公理 （プリミティブ： R 、）：

公理1 。 x yの場合、 y xではありません。つまり、「」は非対称の関係です。

公理2 。 X Z場合、yのように、X YおよびY Zが存在します。言い換えれば、 Rの 「」は密です。

公理3 。 「」はDedekind-completeです。より正式には、すべてのXのために、Y⊆Rは 、場合には、すべてのx∈XとY∈Yのために、X Yは 、次いで、Zそのような存在することのためのすべてのx∈XとY∈Y、Z≠xおよびzの場合≠ y 、次にx zおよびz y 。

やや上の文を明確にするために、X⊆RとY⊆Rをしましょう。次に、目的に合った特定の方法で2つの一般的な英語の動詞を定義します。

XはYに先行する場合、すべてのx∈XとすべてのY∈Yのために、X Yを 【選択実数Zが XとYとを 分離する場合のみならとのみならすべてのx∈XとX≠zおよびyはすべてのy∈Y ≠ z 、 x zおよびz y 。

Axiom 3は次のように記述できます。

「実数のセットが別の実数のセットの前にある場合、2つのセットを分離する実数が少なくとも1つ存在します。」

加算の公理 （プリミティブ： R 、、+）：

公理4 。 x +（ y + z ）=（ x + z ）+ y 。

公理5 。すべてのx 、 y に対して 、 x + z = yのようなzが存在します。

公理6 。 x + y z + wの場合、 x zまたはy wです。

1つの公理 （プリミティブ： R 、、+、1）：

公理7 。 1∈R。

公理8 。 1 1 + 1。

これらの公理は、 Rが要素1が追加された線形順序のアーベル群であることを意味します。Rは、デデキンド完全で割り切れます。

モデルの明示的な構築

公理のモデルが同型であることを証明しません。このような証明は、現代の分析や定説の教科書の多くに見られます。ただし、いくつかの構造の基本的な定義とプロパティをスケッチします。これらはそれぞれ、数学的および歴史的な理由から重要です。 Georg Cantor / CharlesMéray、Richard Dedekind、およびKarl Weierstrassによる最初の3つはすべて、互いに数年以内に発生しました。それぞれに長所と短所があります。 3つのケースすべての主な動機は、数学の学生の指導でした。

コーシー配列からの構築

メトリック空間のすべてのコーシーシーケンスを強制的に収束させる標準的な手順は、完了と呼ばれるプロセスでメトリック空間に新しいポイントを追加することです。

Rは、メトリックに関するQの完了として定義されます。 x - y |、以下で詳しく説明します（他のメトリックに関するQの補完については、 p進数字を参照してください。）

Rを有理数のコーシーシーケンスのセットとします。つまり、シーケンス

x 1 、 x 2 、 x 3 、...

すべての合理的なε> 0に対して、すべての自然数M、N> Nの場合とNは 、整数が存在するような有理数の| x m − x n | ε 。ここで、垂直バーは絶対値を示します。

コーシーシーケンス（ x n ）および（ y n ）は、次のように追加および乗算できます。

（ x n ）+（ y n ）=（ x n + y n ）（ x n ）×（ y n ）=（ x n × y n ）。

2つのコーシーシーケンスは、それらの差がゼロになる傾向がある場合にのみ等価と呼ばれます。これは、上記で定義された演算と互換性のある等価関係を定義し、すべての等価クラスの集合Rは、実数のすべての公理を満たすように表示できます。有理数rをシーケンスの等価クラス（ r 、 r 、 r 、…）で識別することにより、 QをRに埋め込むことができます。

実数との間の比較は、コーシーの配列間の以下の比較定義することによって得られる。xが yに等しいか、または整数が存在する場合にのみ場合（X n） が ≥（Y n） を Nように、すべてのnについて×N個の ≥のY n を > N

構成上、すべての実数xは有理数のコーシーシーケンスで表されます。この表現は決してユニークではありません。 xに収束するすべての有理数列はxの表現です。これは、同じ実数を近似するために異なるシーケンスをしばしば使用できるという観察を反映しています。

定義から簡単に理解できない唯一の実数公理は、≤の完全性、つまり最小上限プロパティです。次のように証明できます。SをRの空でないサブセットとし、 UをSの上限とします。必要に応じてより大きな値を代入して、 Uが合理的であると仮定する場合があります。 Sは空ではないため、 Sの一部の sに対してL sとなるような有理数Lを選択できます。次のように、有理数のシーケンス（ u n ）および（ l n ）を定義します。

u 0 = Uおよびl 0 = Lに設定します。

nごとに数を検討します。

m n =（ u n + l n ）/ 2

m nがSセットの上限の場合：

u n +1 = m nおよびl n +1 = l n

それ以外の場合：

l n +1 = m nおよびu n +1 = u n

これは、2つの有理数のコーシーシーケンスを定義するため、実数l =（ l n ）とu =（ u n ）があります。 nの帰納法により、次のことを証明するのは簡単です。

u nは、すべてのnに対するSの上限です。

そして：

l nは、 nの Sの上限になることはありません

したがって、 uはSの上限です。最小の上限であることを確認するには、（ u n − l n ）の制限が0であるため、 l = uであることに注意してください。ここで、 b u = lがSのより小さい上限であると仮定します。 （ l n ）は単調増加であるため、一部のnについてb l nであることが簡単にわかります。ただし、 l nはSの上限ではないため、 bも上限ではありません。したがって、 uはSの最小上限であり、≤は完全です。

通常の10進表記は、自然な方法でコーシーシーケンスに変換できます。たとえば、表記π= 3.1415 ...は、πがコーシーシーケンスの等価クラスであることを意味します（3、3.1、3.14、3.141、3.1415、...）。方程式0.999 ... = 1は、シーケンス（0、0.9、0.99、0.999、...）および（1、1、1、1、...）が等価である、つまり、それらの差が0に収束することを示しています。

Qの完成としてRを構築する利点は、この構築が1つの例に固有ではないことです。他のメトリック空間にも使用されます。

デデキントカットによる建設

順序付けられたフィールドのDedekindカットは、そのパーティション（ A 、 B ）であり、 Aは空ではなく下向きに閉じられ、 Bは空ではなく上向きに閉じられ、 Aには最大の要素が含まれません。実数は、有理数のDedekindカットとして構築できます。

便宜上、A {\ displaystyle A}が完全に決定するため、下位セットA {\ displaystyle A \、}をDedekindカット（A、B）{\ displaystyle（A、B）\、}の代表として取ることができます。 B {\ displaystyle B}。これを行うことで、実数がすべてのより小さい有理数のセットで表されるものとして直感的に考えることができます。より詳細には、実数r {\ displaystyle r}は、次の条件を満たす有理数のセットQ {\ displaystyle {\ textbf {Q}}}のサブセットです。

  1. r {\ displaystyle r}は空ではありません
  2. r≠Q {\ displaystyle r \ neq {\ textbf {Q}}}
  3. r {\ displaystyle r}は下向きに閉じられます。つまり、すべてのx、y∈Q{\ displaystyle x、y \ in {\ textbf {Q}}}に対して、y∈r{\ displaystyle y \ inの場合、x y {\ displaystyle x y}となるr}x∈r{\ displaystyle x \ in r}
  4. r {\ displaystyle r}には最大の要素は含まれていません。つまり、すべてのy∈r{\ displaystyle y \ in r}に対して、y≤x{\ displaystyle y \ leq x}であるようなx∈r{\ displaystyle x \ in r}はありません。
  • 実数の集合R {\ displaystyle {\ textbf {R}}}をすべてのDedekindカットの集合として形成しますQ {\ displaystyle {\ textbf {Q}}}のA {\ displaystyle A}をカットし、合計を定義します次のように実数を並べます：x≤y⇔x⊆y{\ displaystyle x \ leq y \ Leftrightarrow x \ subseteq y}
  • 有理数q {\ displaystyle q}をすべてのより小さい有理数のセット{x∈Q：x q} {\ displaystyle \ {x \ in {\ textbf {Q}で識別することにより、有理数を実数に組み込みます}：x q \}}。有理数は密であるため、このような集合は最大の要素を持たず、したがって、上に示した実数であるための条件を満たします。
  • 添加。 A + B：= {a + b：a∈A∧b∈B} {\ displaystyle A + B：= \ {a + b：a \ in A \ land b \ in B \}}
  • 減算。 A-B：= {a-b：a∈A∧b∈（Q∖B）} {\ displaystyle AB：= \ {ab：a \ in A \ land b \ in（{\ textbf {Q}} \ setminus B）\}}ここで、Q∖B {\ displaystyle {\ textbf {Q}} \ setminus B}は、Q {\ displaystyle {\ textbf {Q}}}のB {\ displaystyle B}の相対的な補数を示します。 x：x∈Q∧x∉B} {\ displaystyle \ {x：x \ in {\ textbf {Q}} \ land x \ notin B \}}
  • 否定は減算の特別な場合です：−B：= {a−b：a 0∧b∈（Q∖B）} {\ displaystyle -B：= \ {ab：a 0 \ land b \ in（{ \ textbf {Q}} \ setminus B）\}}
  • 乗算の定義は簡単ではありません。
    • A、B≥0{\ displaystyle A、B \ geq 0}の場合、A×B：= {a×b：a≥0∧a∈A∧b≥0∧b∈B}∪{x∈Q：x 0} {\ displaystyle A \ times B：= \ {a \ times b：a \ geq 0 \ land a \ in A \ land b \ geq 0 \ land b \ in B \} \ cup \ {x \ in \ mathrm {Q}：x 0 \}}
    • A {\ displaystyle A \、}またはB {\ displaystyle B \、}のいずれかが負の場合、アイデンティティA×B =-（A×-B）=-（-A×B）=（-A× -B）{\ displaystyle A \ times B =-（A \ times -B）=-（-A \ times B）=（-A \ times -B）\、} A {\ displaystyle A \、}を変換するおよび/またはB {\ displaystyle B \、}を正の数に変換してから、上記の定義を適用します。
  • 同様に分割を定義します：
    • A≥0およびB> 0 {\ displaystyle A \ geq 0 {\ mbox {and}} B> 0}の場合、A / B：= {a / b：a∈A∧b∈（Q∖B）} { \ displaystyle A / B：= \ {a / b：a \ in A \ land b \ in（{\ textbf {Q}} \ setminus B）\}}
    • A {\ displaystyle A \、}またはB {\ displaystyle B \、}のいずれかが負の場合、アイデンティティA / B =-（A / -B）=-（-A / B）=-A /-を使用しますB {\ displaystyle A / B =-（A / {-B}）=-（-A / B）=-A / {-B} \、} A {\ displaystyle A \、}を非-負の数および/またはB {\ displaystyle B \、}を正の数にしてから、上記の定義を適用します。
  • 至高。実数の空でないセットS {\ displaystyle S}のR {\ displaystyle {\ textbf {R}}}に上限がある場合、R {\ displaystyle {\ textbf {R}}の最小上限} thatS {\ displaystyle \ bigcup S}と等しい。

無理数を表すDedekindカットの例として、2の正の平方根を取ることができます。これは、セットA = {x∈Q：x 0∨x×x 2} {\ displaystyle Aによって定義できます。 = \ {x \ in {\ textbf {Q}}：x 0 \ lor x \ times x 2 \}}。上記の定義から、A {\ displaystyle A}は実数であり、A×A = 2 {\ displaystyle A \ times A = 2 \、}であることがわかります。ただし、どちらの請求も即時ではありません。 A {\ displaystyle A \、}が実際であることを示すには、A {\ displaystyle A}が最大の要素を持たないこと、つまり正の有理x {\ displaystyle x \、}に対してx×x 2 {\ displaystyle x \ times x 2 \、}、合理的なy {\ displaystyle y \、}があり、x y {\ displaystyle x y \、}およびy×y 2。{\ displaystyle y \ times y 2 \ ,.}選択肢y = 2x + 2x + 2 {\ displaystyle y = {\ frac {2x + 2} {x + 2}} \、}は機能します。次に、A×A≤2{\ displaystyle A \ times A \ leq 2}が等しいことを示すには、r {\ displaystyle r \、}が2未満の有理数である場合、正のx {\ displaystyle x \、} A {\ displaystyle A}でr x×x {\ displaystyle r x \ times x \、}である。

この構造の利点は、各実数が一意のカットに対応することです。

超実数を使用した構築

ハイパー実数の場合と同様に、ウルトラフィルターを使用して有理数からハイパー有理数* Qを作成します。ここで、超合理的とは、定義により、2つの超整数の比率です。 * Qのすべての制限された（すなわち有限の）要素の環Bを考えてください。その場合、 Bには固有の最大理想値I 、つまり極小数があります。商環B / Iは実数の体R を与えます。 Bは* Qの内部セットではないことに注意してください。この構造は、自然数のセットに対して非プリンシパルウルトラフィルターを使用することに注意してください。その存在は、選択の公理によって保証されます。

最大の理想は* Qの順序を尊重することがわかります。したがって、結果のフィールドは順序付けられたフィールドです。完全性は、Cauchyシーケンスからの構築と同様の方法で証明できます。

超現実的な数字からの構築

すべての順序付けられたフィールドは、シュールな数値に埋め込むことができます。実数は、アルキメデスである最大サブフィールドを形成します（つまり、実数が無限に大きくなることはありません）。この埋め込みは一意ではありませんが、標準的な方法で選択できます。

Zからの構築（Eudoxus reals）

あまり知られていない構造では、異なるバージョンの整数Z {\ displaystyle \ mathbb {Z}}の加算グループのみを使用して実数を定義できます。 IsarMathLibプロジェクトによって、構造が正式に検証されました。 ShenitzerとArthanはこの構造をEudoxus realsと呼んでいます。

準準同型写像をf：Z→Z {\ displaystyle f：\ mathbb {Z} \ to \ mathbb {Z}}とし、{f（n + m）−f（m）−f（n ）：n、m∈Z} {\ displaystyle \ {f（n + m）-f（m）-f（n）：n、m \ in \ mathbb {Z} \}}は有限です。 （f（n）=⌊αn⌋{\ displaystyle f（n）= \ lfloor \ alpha n \ rfloor}は、すべてのα∈R{\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {R}}に対してほぼ準同型であることに注意してください。 ）ほとんど準同型は、点ごとの加算の下でアーベル群を形成します。 {\ displaystyleの\ {F（N）-g（N：我々は2つはほぼfは、G {\ displaystyleのF、G}がほぼ等しい場合、集合{n∈ZF（n）は-g（N）}準同型と言います）：n \ in \ mathbb {Z} \}}は有限です。これは、ほぼ準同型の集合の等価関係を定義します。実数は、この関係の等価クラスとして定義されます。あるいは、有限数の値のみをとるほぼ準同型がサブグループを形成し、実数の基礎となる加法グループが商グループです。この方法で定義された実数を追加するには、それらを表すほぼ準同型を追加します。実数の乗算は、ほぼ準同型の機能構成に対応します。 {\ displaystyle}がほぼ準同型f {\ displaystyle f}で表される実数を示す場合、f {\ displaystyle f}が制限されているか、f {\ displaystyle f}がZ + {\ displaystyle \ mathbb {Z} ^ {+}}の無限の数の正の値。これは、この方法で構築された実数のセットの線形順序関係を定義します。

その他の構造

「 実際の数と同じくらい多くの修正を受けたり、多くの装いで提示されたりした数学構造はほとんどありません。すべての世代は、その価値と数学的目的に照らして現実を再検討します。 」

他の多くの構造が、以下によって与えられました：

  • NG de Bruijn。
  • GJリーガー。
  • アーノルド・ノップマッハーとジョン・ノップマッハー。

あるレビューアは、「詳細はすべて含まれていますが、いつものように退屈であまり有益ではありません。」と述べました。

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