キラリティー（数学）
幾何学では、フィギュアはその鏡像と同一でない場合、またはより正確には、回転と平行移動だけでは鏡像にマッピングできない場合、 カイラルです （ カイラリティを持つと言われます）。キラルではないオブジェクトは、アキラルと呼ばれます。 3次元では、すべてのアキラルオブジェクトに鏡面があるわけではありません。たとえば、反転中心を唯一の非自明な対称操作として持つ3次元オブジェクトはアキラルですが、鏡面はありません。
カイラルオブジェクトとその鏡像は鏡像体と呼ばれます。 キラリティーという言葉は、最もよく知られているカイラルオブジェクトであるギリシャ語のχείρ（cheir）に由来しています。ワード鏡像体は、+μορφή（morphe） '形式' '反対'ギリシャἐναντίος（enantios）に由来します。非キラル図形は、 アキラルまたはアンフィチラールと呼ばれます。
例
S
Z
らせんなどの一部のカイラル3次元オブジェクトには、右手の法則に従って右利きまたは左利きを割り当てることができます。
他の多くの身近な物体は、手袋や靴など、人体と同じカイラル対称性を示します。右の靴と左の靴の違いは、互いに鏡像になっていることだけです。対照的に、薄い手袋は、裏返しに着用できる場合、キラルとは見なされない場合があります。
人気のあるビデオゲームTetrisのJ、L、S、Z形のテトロミノもキラリティーを示しますが、これは2次元空間でのみです。個々には、平面内に鏡面対称性は含まれていません。
キラリティと対称性グループ
対称グループに少なくとも1つの方向反転アイソメが含まれる場合にのみ、図はアキラルです。 （ユークリッド幾何学では、任意のアイソメトリは、直交行列A {\ displaystyle A}とベクトルb {\ displaystyle b}を持つv↦Av+ b {\ displaystyle v \ mapsto Av + b}として記述できます。A{の行列式\ displaystyle A}は1または-1のいずれかです。-1の場合、アイソメ図は方向反転で 、それ以外の場合は方向を保持します。）
キラリティの完全な数学的な定義については、を参照してください。
三次元のキラリティー
3次元では、対称の鏡面S1 、対称の反転中心S2 、またはより高い不適切な回転（回転反射） Sn対称軸を持つすべての図形はアキラルです。 （図の対称面 F {\ displaystyle F}は平面P {\ displaystyle P}であるため、F {\ displaystyle F}はマッピング（x、y、z）↦（x、y、 -z）{\ displaystyle（x、y、z）\ mapsto（x、y、-z）}、P {\ displaystyle P}がx {\ displaystyle x} -y {\ displaystyle y}である場合-座標系の平面。図形F {\ displaystyle F} の対称中心は点C {\ displaystyle C}であり、F {\ displaystyle F}はマッピング（x、y、z）の下で不変です。 {（−x、−y、−z）{\ displaystyle（x、y、z）\ mapsto（-x、-y、-z）}、C {\ displaystyle C}が原点の選択である場合ただし、平面と対称の中心の両方に欠けているアキラルな図形があることに注意してください。例は図です
F0 = {（1,0,0）、（0,1,0）、（− 1,0,0）、（0、−1,0）、（2,1,1）、（− 1,2 、−1）、（− 2、−1,1）、（1、−2、−1）} {\ displaystyle F_ {0} = \ left \ {（1,0,0）、（0,1、 0）、（-1,0,0）、（0、-1,0）、（2,1,1）、（-1,2、-1）、（-2、-1,1）、（ 1、-2、-1）\ right \}}方向反転等尺性（x、y、z）↦（−y、x、−z）{\ displaystyle（x、y、z）\ mapsto（-y、x、-z）}の下で不変であり、したがってアキラル、ただし、平面も対称中心もありません。図
F1 = {（1,0,0）、（− 1,0,0）、（0,2,0）、（0、−2,0）、（1,1,1）、（− 1、− 1、−1）} {\ displaystyle F_ {1} = \ left \ {（1,0,0）、（-1,0,0）、（0,2,0）、（0、-2,0 ）、（1,1,1）、（-1、-1、-1）\ right \}}原点は対称中心であるため、アキラルでもありますが、対称面はありません。
また、アキラルの図には中心軸があります。
二次元のキラリティー
2次元では、対称軸を持つすべての図形はアキラルであり、 境界のあるすべてのアキラル図形は対称軸を持つ必要があることを示すことができます。 （ 図の対称軸 F {\ displaystyle F}は線L {\ displaystyle L}であるため、F {\ displaystyle F}はマッピング（x、y）↦（x、−y）{の下で不変です。 \ displaystyle（x、y）\ mapsto（x、-y）}、L {\ displaystyle L}が座標系のx {\ displaystyle x}軸として選択されている場合。）そのため、三角形は等辺または二等辺の場合はアキラルで、鱗状の場合はキラルです。
次のパターンを検討してください。
この図は、鏡像と同一ではないため、キラルです。
しかし、パターンを両方向に無限に延長すると、対称軸を持たない（境界のない）アキラル図形を受け取ります。その対称グループは、単一のグライド反射によって生成されるフリーズグループです。
結び目理論
ノットは、鏡像に連続的に変形できる場合はアキラルと呼ばれ、そうでない場合はカイラルノットと呼ばれます。たとえば、結び目と8字結び目はアキラルです。一方、三葉結び目はキラルです。
