ケイリー変換
数学では、アーサーケイリーにちなんで名付けられたケイリー変換は 、関連するもののクラスターのいずれかです。 Cayley（1846）によって最初に説明されたように、Cayley変換は、スキュー対称行列と特別な直交行列の間のマッピングです。変換は、実際の分析、複雑な分析、および四元数分析で使用されるホモグラフィです。ヒルベルト空間の理論では、Cayley変換は線形演算子間のマッピングです（Nikol'skii 2001）。
本当のホモグラフィー
ケイリー変換は、{1、0、-1、∞}の要素を順番に並べ替える実射影線の自己同型です。たとえば、正の実数をintervalにマッピングします。したがって、Cayley変換を使用して、ルジャンドルpolynomialの有理関数で正の実数の関数で使用するルジャンドルpolynomial多項式を適合させます。
実際のホモグラフィとして、点は射影座標で記述され、マッピングは
=〜=（11-11）。{\ displaystyle = \ thicksim = {\ begin {pmatrix} 1＆1 \\-1＆1 \ end {pmatrix}}。}複雑なホモグラフィ
複雑な射影平面では、Cayley変換は次のとおりです。
f（z）= z−iz + i。{\ displaystyle f（z）= {\ frac {zi} {z + i}}。}{∞、1、–1}は{1、–i、i}にマッピングされ、メビウス変換は複素平面の一般化された円を置換するため、 fは実線を単位円にマッピングします。さらに、 fは連続で、iはfによって0にされるため、上半平面は単位ディスクにマッピングされます。
双曲線幾何学のモデルに関して、このケイリー変換は、ポアンカレ半平面モデルをポアンカレ円盤モデルに関連付けます。電気工学では、Cayley変換を使用してリアクタンス半平面を伝送ラインのインピーダンスマッチングに使用されるスミスチャートにマッピングしました。
四元数ホモグラフィ
四元数q = a + b i + c j + d kの4次元空間では、バーサ
u（θ、r）=cosθ+rsinθ{\ displaystyle u（\ theta、r）= \ cos \ theta + r \ sin \ theta}は単位3球を形成します。四元数は非可換であるため、その射影線の要素はU（ a、b ）と書かれた同次座標を持ち、同次因子が左側で乗算されることを示します。クォータニオン変換は
f（u、q）= U（11−uu）= U∼U。{\ displaystyle f（u、q）= U {\ begin {pmatrix} 1＆1 \\-u＆u \ end {pmatrix}} = U \ sim U.}上記の実ホモグラフィと複素ホモグラフィは、θがそれぞれゼロまたはπ/ 2であるクォータニオンホモグラフィのインスタンスです。明らかに、変換はu →0→–1を取り、– u →∞→1を取ります。
q = 1でこのホモグラフィを評価すると、バーサーuがその軸にマッピングされます。
f（u、1）=（1 + u）−1（1-u）=（1 + u）∗（1-u）/ | 1 + u | 2。{\ displaystyle f（u、1）=（ 1 + u）^ {-1}（1-u）=（1 + u）^ {*}（1-u）/ | 1 + u | ^ {2}。}ただし、| 1 + u | 2 =（1 + u）（1 + u ∗）= 2 +2cosθ、および（1 + u ∗）（1−u）= −2rsinθ。{\ displaystyle | 1+ u | ^ {2} =（1 + u）（1 + u ^ {*}）= 2 + 2 \ cos \ theta、\ quad {\ text {and}} \ quad（1 + u ^ {*}） （1-u）=-2r \ sin \ theta。}
したがって、f（u、1）= −sinθ1+cosθr= −rtanθ2。{\ displaystyle f（u、1）= {\ frac {-\ sin \ theta} {1+ \ cos \ theta} } r = -r \ tan {\ frac {\ theta} {2}}。}
この形式では、Cayley変換は回転の合理的なパラメーター化として説明されています。複素数恒等式でt = tanφ/ 2とします
e−iφ = 1−ti1 + ti {\ displaystyle e ^ {-i \ varphi} = {\ frac {1-ti} {1 + ti}}}ここで、右側はt iの変換であり、左側は負のφラジアンによる平面の回転を表します。
逆
u ∗ = cosθ−rsinθ = u−1。{\ displaystyle u ^ {*} = \ cos \ theta -r \ sin \ theta = u ^ {-1}とする。}
（11-uu）（1-u ∗ 1u ∗）=（2002）〜（1001）、{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1＆1 \\-u＆u \ end {pmatrix}} \ {\ begin {pmatrix} 1＆ -u ^ {*} \\ 1＆u ^ {*} \ end {pmatrix}} \ = \ {\ begin {pmatrix} 2＆0 \\ 0＆2 \ end {pmatrix}} \ \ sim \ {\ begin {pmatrix} 1＆0 \ \ 0＆1 \ end {pmatrix}} \、}等価性が四元数上の射影線形群にある場合、 f （ u 、1）の逆数は
U（1−u ∗ 1u ∗）= U∼U。{\ displaystyle U {\ begin {pmatrix} 1＆-u ^ {*} \\ 1＆u ^ {*} \ end {pmatrix}} \ = \ U \ sim U.}ホモグラフィは全単射なので、f−1（u、1）{\ displaystyle f ^ {-1}（u、1）}はベクトル四元数を3次元のバーサーにマッピングします。バーサは3空間での回転を表すため、ホモグラフィf -1はボールからℝ3の回転を生成します。
マトリックスマップ
Iが単位行列である実数上のn × n正方行列の中で、 Aを任意のスキュー対称行列とします（ A T = − A ）。次に、 I + Aは可逆であり、Cayley変換は
Q =（IA）（I + A）-1 {\ displaystyle Q =（IA）（I + A）^ {-1} \、\！}直交行列Qを生成します（ Q T Q = I ）。上記のQの定義における行列の乗算は可換であるため、 QはQ =（I + A）-1（I-A）{\ displaystyle Q =（I + A）^ {-1}（IA ）}。実際、 Qは行列式+1を持たなければならないため、特別な直交行列です。逆に、固有値として-1を持たない直交行列をQとします。それから
A =（I-Q）（I + Q）-1 {\ displaystyle A =（IQ）（I + Q）^ {-1} \、\！}は、スキュー対称行列です。 Qの条件は、行列式-1の行列を自動的に除外しますが、特定の特別な直交行列も除外します。
わずかに異なるフォームも見られ、各方向に異なるマッピングが必要です。
Q =（I−A）−1（I + A）A =（Q−I）（Q + I）−1 {\ displaystyle {\ begin {aligned} Q＆{} =（IA）^ {-1}（ I + A）\\ A＆{} =（QI）（Q + I）^ {-1} \ end {aligned}}}マッピングは、因子の順序を逆にして記述することもできます。しかし、いつもと通勤（μI±A）-1、並べ替えが定義に影響を与えないように。
例
2×2の場合、
↔。{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 0＆\ tan {\ frac {\ theta} {2}} \\-\ tan {\ frac {\ theta} {2}}＆0 \ end {bmatrix}} \ leftrightarrow {\ begin {bmatrix} \ cos \ theta＆-\ sin \ theta \\\ sin \ theta＆\ cos \ theta \ end {bmatrix}}。}180°回転行列-Iは除外されますが、tan θ⁄2が無限大になると限界になります。
3×3の場合、
K1K、{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 0＆z＆-y \\-z＆0＆x \\ y＆-x＆0 \ end {bmatrix}} \ leftrightarrow {\ frac {1} {K}} {\ begin {bmatrix} w ^ {2} + x ^ {2} -y ^ {2} -z ^ {2}＆2（xy-wz）＆2（wy + xz）\\ 2（xy + wz）＆w ^ {2} -x ^ { 2} + y ^ {2} -z ^ {2}＆2（yz-wx）\\ 2（xz-wy）＆2（wx + yz）＆w ^ {2} -x ^ {2} -y ^ {2 } + z ^ {2} \ end {bmatrix}}、}ここで、 K = w 2 + x 2 + y 2 + z 2、およびw = 1です。これは、クォータニオンに対応する回転行列として認識されます。
w + ix + jy + kz {\ displaystyle w + \ mathbf {i} x + \ mathbf {j} y + \ mathbf {k} z \、\！}（式により、ケイリーは前年に公開していました）、ただし、 w 2 + x 2 + y 2 + z 2 = 1になるように通常のスケーリングの代わりにw = 1になるようにスケーリングされます。したがって、ベクトル（ x 、 y 、 z ）はtan θ⁄2でスケーリングされた単位回転軸。再び除外されるのは180°の回転で、この場合は対称であるすべてのQです （そのためQ T = Q ）。
その他の行列
「直交」を「ユニタリー」に、「スキュー対称」を「スキューエルミート」に置き換えることで、マッピングを複雑な行列に拡張できます。違いは、転置（・T）が共役転置（・H）に置き換えられることです。これは、標準の実際の内積を標準の複雑な内積に置き換えることと一致しています。実際、転置または共役転置以外の随伴の選択により、定義をさらに拡張できます。
正式には、定義にはある程度の可逆性しか必要ないため、固有値に-1が含まれない任意の行列MをQに置き換えることができます。たとえば、
↔。{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 0＆-a＆ab-c \\ 0＆0＆-b \\ 0＆0＆0 \ end {bmatrix}} \ leftrightarrow {\ begin {bmatrix} 1＆2a＆2c \\ 0＆1＆2b \\ 0＆0＆1 \ end {bmatrix} }。}Qが固有値-1を持たない直交（それぞれユニタリ）である場合にのみ、 Aはスキュー対称（それぞれスキューエルミート）であることに注意してください。
オペレーターマップ
内積空間の無限次元バージョンはヒルベルト空間であり、マトリックスについてはもはや語れません。ただし、行列は単なる線形演算子の表現であり、これらはまだあります。したがって、マトリックスマッピングと複雑な平面マッピングの両方を一般化して、演算子のCayley変換を定義できます。
U =（A−iI）（A + iI）−1A = i（I + U）（I−U）−1 {\ displaystyle {\ begin {aligned} U＆{} =（A- \ mathbf {i} I ）（A + \ mathbf {i} I）^ {-1} \\ A＆{} = \ mathbf {i}（I + U）（IU）^ {-1} \ end {aligned}}}ここで、 Uのドメインdom Uは（ A + i I ）dom Aです。詳細については、自己結合演算子を参照してください。
