カタロニアの定数
数学では、組み合わせ論に現れるカタロニアの定数 Gは、
G =β（2）= ∑n =0∞（−1）n（2n + 1）2 = 112-132 + 152-172 + 192-⋯{\ displaystyle G = \ beta（2）= \ sum _ { n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {（-1）^ {n}} {（2n + 1）^ {2}}} = {\ frac {1} {1 ^ {2}}}- {\ frac {1} {3 ^ {2}}} + {\ frac {1} {5 ^ {2}}}-{\ frac {1} {7 ^ {2}}} + {\ frac {1 } {9 ^ {2}}}-\ cdots}ここで、βはディリクレベータ関数です。その数値はおよそです（OEISのシーケンスA006752）
G = 0.915965594177219015054603514932384110774…| 数学の未解決問題 ： カタロニア人は常に不合理ですか？もしそうなら、それは超越的ですか？ （数学の未解決の問題） |
Gが非合理的であるか、超越論的であるかは不明です。
カタロニアの定数は、ウジェーヌシャルルカタロニアにちなんで命名されました。
類似しているが明らかに複雑なシリーズ
∑n =0∞（-1）n（2n + 1）3 = 113-133 + 153-173 + 193-⋯{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {（- 1）^ {n}} {（2n + 1）^ {3}}} = {\ frac {1} {1 ^ {3}}}-{\ frac {1} {3 ^ {3}}} + {\ frac {1} {5 ^ {3}}}-{\ frac {1} {7 ^ {3}}} + {\ frac {1} {9 ^ {3}}}-\ cdots}正確に評価でき、π3/ 32に等しくなります。
統合アイデンティティ
定積分を含むいくつかの恒等式には、
G =∬211+ x2y2dxdyG =∫1∞lnt1+ t2dtG = −∫01lnt1 + t2dtG =∫0π4tsintcostdtG= 14∫−π2π2tsintdtG =∫0π4lncottdtG= −∫0π4lntan tdtG=12∫0π2ln（sect+tant）dtG =∫01arccost1+ t2dtG = ∫01arsinht1−t2dtG = ∫0∞arctane−tdtG =12∫0∞tcoshtdtG=π2 ∫1∞（t4−6t2 + 1）lnlnt（1 + t2）3dtG = 1 +limα→1− {∫0α（1 + 6t2 + t4）arctantt（1−t2）2dt +2arctanh α−πα1−α2} G = 1−18∬R2xsin（2xy /π）（x2 +π2）coshxsinhydxdy{\ displaystyle {\ begin {aligned} G＆= \ iint _ {^ {2}} \ ！{\ frac {1} {1 + x ^ {2} y ^ {2}}} \、dx \、dy \\ G＆= \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {\ ln t } {1 + t ^ {2}}} \、dt \\ G＆=-\ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ ln t} {1 + t ^ {2}}} \、dt \\ G＆= \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {4}} {\ frac {t} {\ sin t \ cos t}} \、dt \\ G＆= {\ tfrac {1} {4}} \ int _ {-{\ frac {\ pi} {2}}} ^ {\ frac {\ pi} {2}} {\ frac {t} {\ sin t}} \、dt \\ G＆= \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {4}} \ ln \ cot t \、dt \\ G＆=-\ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {4} } \ ln \ tan t \、dt \\ G＆= {\ tfrac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} \ ln（\ sec t + \ tan t ）\、dt \\ G＆= \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ arccos t} {\ sqrt {1 + t ^ {2}}}} \、dt \\ G＆= \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ operatorname {arsinh} t} {\ sqrt {1- t ^ {2}}}} \、dt \\ G＆= \ int _ {0} ^ {\ infty} \ arctan e ^ {-t} \、dt \\ G＆= {\ tfrac {1} {2} } \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {t} {\ cosh t}} \、dt \\ G＆= {\ frac {\ pi} {2}} \ int _ {1} ^ { \ infty} {\ frac {（t ^ {4} -6t ^ {2} +1）\ ln \ ln t} {（1 + t ^ {2}）^ {3}}} \、dt \\ G＆ = 1 + \ lim _ {\ alpha \ to {1 ^ {-}}} \！\ left \ {\ int _ {0} ^ {\ alpha} \！{\ frac {（1 + 6t ^ {2} + t ^ {4}）\ arctan {t}} {t（1-t ^ {2}）^ {2}}} \、dt + 2 \ operatorname {arctanh} {\ alpha}-{\ frac {\ pi \ alpha} {1- \ alpha ^ {2}}} \ right \} \\ G＆= 1-{\ frac {1} {8}} \ iint _ {\ mathbb {R} ^ {2}} \ ！\！{\ frac {x \ sin（2xy / \ pi）} {\、（x ^ {2} + \ pi ^ {2}）\ cosh x \ sinh y \、}} \、dxdy \ end {整列}}}ここで、最後の3つの式はマルムステンの積分に関連しています。
K（ k ）が楕円率kの関数としての第1種完全楕円積分である場合、
G =12∫01K（k）dk {\ displaystyle G = {\ tfrac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {1} \ mathrm {K}（k）\、dk}ガンマ関数Γ（ x + 1）= x ！
G =π4∫01Γ（1 + x2）Γ（1−x2）dx =π2∫012Γ（1 + y）Γ（1−y）dy {\ displaystyle {\ begin {aligned} G＆= {\ frac {\ pi } {4}} \ int _ {0} ^ {1} \ Gamma \ left（1 + {\ frac {x} {2}} \ right）\ Gamma \ left（1-{\ frac {x} {2 }} \ right）\、dx \\＆= {\ frac {\ pi} {2}} \ int _ {0} ^ {\ frac {1} {2}} \ Gamma（1 + y）\ Gamma（ 1-y）\、dy \ end {aligned}}}積分
G =Ti2（1）=∫01arctanttdt{\ displaystyle G = \ operatorname {Ti} _ {2}（1）= \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ arctan t} {t }} \、dt}は逆正接積分と呼ばれる既知の特殊関数であり、Srinivasa Ramanujanによって広く研究されました。
用途
Gは、コンビナトリクスと、2番目のポリガンマ関数（trigamma関数とも呼ばれる）の値に、分数引数で表示されます。
ψ1（14）=π2+8Gψ1（34）= π2−8G。{\ displaystyle {\ begin {aligned} \ psi _ {1} \ left（{\ tfrac {1} {4}} \ right）＆= \ pi ^ {2} + 8G \\\ psi _ {1} \ left（{\ tfrac {3} {4}} \ right）＆= \ pi ^ {2} -8G。\ end {aligned}}}Simon Plouffeは、trigamma関数、π2とCatalanの定数の間のアイデンティティの無限コレクションを提供します。これらは、グラフ上のパスとして表現できます。
低次元トポロジーでは、カタラン定数は理想的な双曲線八面体の体積の有理数倍であり、したがってホワイトヘッドリンクの補数の双曲線体積の有理数倍です。
また、双曲線正割分布に関連して表示されます。
他の特殊機能との関係
カタラン定数は、クラウス関数、逆正接積分、逆正弦積分、バーンズG関数、および前述の関数に関して積分可能な級数および級数に関して頻繁に発生します。
特定の例として、最初に閉形式で逆正接積分を-クローゼン関数の観点で-表現し、次にそれらのクローゼン関数をBarnes G-関数の観点で表現することにより、次の式が得られます（詳細はクローゼン関数を参照） ：
G =4πlog（G（38）G（78）G（18）G（58））+4πlog（Γ（38）Γ（18））+π2log（1 + 22（2−2））{\ displaystyle G = 4 \ pi \ log \ left（{\ frac {G \ left（{\ frac {3} {8}} \ right）G \ left（{\ frac {7} {8}} \ right）} {G \ left（{\ frac {1} {8}} \ right）G \ left（{\ frac {5} {8}} \ right）}} \ right）+4 \ pi \ log \ left（{ \ frac {\ Gamma \ left（{\ frac {3} {8}} \ right）} {\ Gamma \ left（{\ frac {1} {8}} \ right）}} \ right）+ {\ frac {\ pi} {2}} \ log \ left（{\ frac {1 + {\ sqrt {2}}} {2 \ left（2-{\ sqrt {2}} \ right）}} \ right）} 。Lerch超越 Φ（ z 、 s 、 α ）（Lerchゼータ関数に関連する）を次のように定義する場合
Φ（z、s、α）= ∑n =0∞zn（n +α）s、{\ displaystyle \ Phi（z、s、\ alpha）= \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} { \ frac {z ^ {n}} {（n + \ alpha）^ {s}}}、}それから
G =14Φ（-1,2,2,12）。{\ displaystyle G = {\ tfrac {1} {4}} \ Phi \ left（-1,2、{\ tfrac {1} {2}} \ right） 。}素早く収束するシリーズ
次の2つの式は、迅速に収束するシリーズを含むため、数値計算に適しています。
G = 3∑n =0∞124n（−12（8n + 2）2 + 122（8n + 3）2−123（8n + 5）2 + 123（8n + 6）2−124（8n + 7）2 +12（8n + 1）2）-2∑n =0∞1212n（124（8n + 2）2 + 126（8n + 3）2−129（8n + 5）2−1210（8n + 6）2 −1212（8n + 7）2 + 123（8n + 1）2）{\ displaystyle {\ begin {aligned} G＆= 3 \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2 ^ {4n}}} \ left（-{\ frac {1} {2（8n + 2）^ {2}}} + {\ frac {1} {2 ^ {2}（8n + 3）^ {2 }}}-{\ frac {1} {2 ^ {3}（8n + 5）^ {2}}} + {\ frac {1} {2 ^ {3}（8n + 6）^ {2}} }-{\ frac {1} {2 ^ {4}（8n + 7）^ {2}}} + {\ frac {1} {2（8n + 1）^ {2}}} \ right）-\ \＆\ qquad -2 \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2 ^ {12n}}} \ left（{\ frac {1} {2 ^ {4}（8n +2）^ {2}}} + {\ frac {1} {2 ^ {6}（8n + 3）^ {2}}}-{\ frac {1} {2 ^ {9}（8n + 5 ）^ {2}}}-{\ frac {1} {2 ^ {10}（8n + 6）^ {2}}}-{\ frac {1} {2 ^ {12}（8n + 7）^ {2}}} + {\ frac {1} {2 ^ {3}（8n + 1）^ {2}}} \ right）\ end {aligned}}}そして
G =π8log（2 + 3）+ 38∑n =0∞1（2n + 1）2（2nn）。{\ displaystyle G = {\ frac {\ pi} {8}} \ log \ left（2+ {\ sqrt {3}} \ right）+ {\ frac {3} {8}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {（2n + 1）^ {2} {\ binom {2n} {n}}}}。}このようなシリーズの理論的基礎は、最初の式についてはブロードハースト、2番目の式についてはラマヌジャンによって与えられています。カタラン定数の高速評価のためのアルゴリズムは、E。Karatsubaによって構築されました。
既知の数字
カタロニアの定数Gの既知の桁数は、過去数十年間で劇的に増加しました。これは、コンピューターのパフォーマンスの向上とアルゴリズムの改善の両方によるものです。
| 日付 | 10進数 | によって実行される計算 |
|---|---|---|
| 1832 | 16 | トーマス・クラウセン |
| 1858 | 19 | カール・ヨハン・ダニエルソン・ヒル |
| 1864 | 14 | ウジェーヌ・シャルル・カタラン |
| 1877 | 20 | ジェームス・WL・グライシャー |
| 1913 | 32 | ジェームス・WL・グライシャー |
| 1990 | 20000 | グレッグJ.フィー |
| 1996 | 50000 | グレッグJ.フィー |
| 1996年8月14日 | 100000 | グレッグJ.フィー＆サイモンプロフ |
| 1996年9月29日 | 300000 | トーマス・パパニコラウ |
| 1996 | 1500000 | トーマス・パパニコラウ |
| 1997 | 3379957 | パトリック・デミチェル |
| 1998年1月4日 | 12500000 | ザビエル・グルドン |
| 2001 | 100000500 | ザビエル・グルドン＆パスカル・セバ |
| 2002 | 201000000 | ザビエル・グルドン＆パスカル・セバ |
| 2006年10月 | 5000000000 | 近藤茂＆スティーヴ・パグリアーロ |
| 2008年8月 | 10000000000 | 近藤茂＆スティーヴ・パグリアーロ |
| 2009年1月31日 | 15510000000 | アレクサンダー・J・イー＆レイモンド・チャン |
| 2009年4月16日 | 31026000000 | アレクサンダー・J・イー＆レイモンド・チャン |
| 2015年6月7日 | 200000001100 | ロバート・J・セティ |
| 2016年4月12日 | 250000000000 | ロン・ワトキンス |
| 2019年2月16日 | 300000000000 | ティツィアン・ハンセルマン |
| 2019年3月29日 | 500000000000 | マイク・A＆イアン・キュートレス |
| 2019年7月16日 | 600000000100 | キム・スンミン |
