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カーマイケル関数

数論で、すべての正の整数nは正の整数λ（n）はカーマイケル関数関連付け{\ displaystyle \ラムダ（N）}、そのような最小の正の整数mとして定義され

am≡1（MODN）{\ displaystyle {\カラー{青} A ^ {M} \当量1 {\ PMODが{N}}}} 1とnとの間のすべての整数Aのそれはnに互いに素です。

代数的用語では、λ（n）{\ displaystyle \ lambda（n）}はnを法とする整数の乗法群の指数に等しい。

カーマイケル関数は、アメリカの数学者ロバート・カーマイケルにちなんで名付けられ、 縮約されたトーティエント関数または最小普遍指数関数としても知られています 。

オイラーのトーティエント関数φ{\ displaystyle \ varphi}と比較したλ（n）{\ displaystyle \ lambda（n）}（OEISのシーケンスA002322）の最初の36個の値。 （異なる場合は太字で 、異なるようなnはOEIS：A033949にリストされています）

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36
λ（n）{\ displaystyle \ lambda（n）} 1 1 2 2 4 2 6 2 6 4 10 2 12 6 4 4 16 6 18 4 6 10 22 2 20 12 18 6 28 4 30 8 10 16 12 6
φ（n）{\ displaystyle \ varphi（n）} 1 1 2 2 4 2 6 4 6 4 10 4 12 6 8 8 16 6 18 8 12 10 22 8 20 12 18 12 28 8 30 16 20 16 24 12

数値例

8でのカーマイケル関数は2、つまりλ（8）= 2 {\ displaystyle \ lambda（8）= 2}です。これは、任意の数の 8 に対する共素数が2≡1（mod 8）を保持するためです。つまり、12 = 1（mod 8）、32 = 9≡1（mod 8）、52 = 25≡1（mod 8）、72 = 49≡1（mod 8）です。 8でのオイラーのトーティエント関数は4です。つまり、φ（8）= 4 {\ displaystyle \ varphi（8）= 4}です。これは、8より少ない4つの数があり、8（1、3、5、および7）と互いに素であるためです。オイラーの定理は、すべての8互いに素が、4 A4≡1（MOD 8）が最小ような指数ではないことを保証します。

カーマイケルの定理によるλ（n）{\ displaystyle \ lambda（n）}の計算

算術の基本定理により、 n > 1は次のように独自の方法で記述できます。

n = p1r1p2r2…pkrk {\ displaystyle n = p_ {1} ^ {r_ {1}} p_ {2} ^ {r_ {2}} \ dots p_ {k} ^ {r_ {k}}}

ここで、 p 1 p 2 ... pkは素数であり、 r 1、 r 2、...、 rkは正の整数です。 λ （ n ）は、その主な力率のそれぞれのλの最小公倍数です。

λ（n）=lcm⁡（λ（p1r1）、λ（p2r2）、…、λ（pkrk））。{\ displaystyle \ lambda（n）= \ operatorname {lcm} {\ big（} \ lambda（p_ { 1} ^ {r_ {1}}）、\、\ lambda（p_ {2} ^ {r_ {2}}）、\、\ ldots、\、\ lambda（p_ {k} ^ {r_ {k}} ）{\大きい ）}。}

これは、中国剰余定理を使用して証明できます。

カーマイケルの定理は、素数の累乗p rの λの計算方法を説明します。奇数の素数の累乗の場合、2および4の場合、 λ （ p r ）はオイラートーティエントφ （ p r ） 2の累乗が4より大きい場合、オイラートーティエントの半分に等しくなります。

λ（pr）= {φ（pr）if pr = 2,3,4,5,7,9,11,13,17,19,23,25,27,29,31、…12φ（pr）if pr = 8,16,32,64,128,256、…{\ displaystyle \ lambda（p ^ {r}）= {\ begin {cases} \; \; \ varphi（p ^ {r}）＆{\ mbox {if}} p ^ {r} = 2,3,4,5,7,9,11,13,17,19,23,25,27,29,31、\ dots \\ {\ tfrac {1} {2}} \ varphi（p ^ {r}）＆{\ text {if}} p ^ {r} = 8,16,32,64,128,256、\ dots \ end {cases}}}

プライムパワーp rに対するオイラーの関数は、

φ（pr）= pr−1（p−1）。{\ displaystyle \ varphi（p ^ {r}）= p ^ {r-1}（p-1）。\;}

カーマイケル関数の特性

nを法とする要素の順序

aとnを互いに素で、mをam≡1（modn）{\ displaystyle a ^ {m} \ equiv 1 {\ pmod {n}}}の最小指数とすると、

m |λ（n）{\ displaystyle m | \ lambda（n）}

つまり、 nを法とする整数のリング内のユニットaの次数m：= ord n （ a ）は、λ（n）{\ displaystyle \ lambda（n）}を除算し、

λ（n）= max {ordn⁡（a）：gcd（a、n）= 1} {\ displaystyle \ lambda（n）= \ max \ {\ operatorname {ord} _ {n}（a）\、\コロン\、\ gcd（a、n）= 1 \}}

最小

am≡1（modn）{\ displaystyle a ^ {m} \ equiv 1 {\ pmod {n}}}がnと互いに素であると仮定します。次に、λ（n）| m {\ displaystyle \ lambda（n）| m}。

証明。 m =kλ（n）+ r {\ displaystyle m = k \; \ lambda（n）+ r}で0≤rλ（n）{\ displaystyle 0 \ leq r \ lambda（n）}の場合、 ar =1k⋅ar≡（aλ（n））k⋅ar=akλ（n）+ r =am≡1（modn）{\ displaystyle a ^ {r} = 1 ^ {k} \ cdot a ^ {r} \ equiv（a ^ {\ lambda（n）}）^ {k} \ cdot a ^ {r} = a ^ {k \; \ lambda（n）+ r} = a ^ {m} \ equiv 1 {\ pmod {n}}}は、すべての数値がnと互いに素です。 r λ（n）{\ displaystyle r \ lambda（n）}およびλ（n）{\ displaystyle \ lambda（n）}が正の最小正数であるため、 r = 0に従います。

2のべき乗の拡張

（累乗）2の素数には、a = 1 + 2h {\ displaystyle a = 1 + 2h}があります。次に、

a2 = 1 + 4h（h + 1）= 1 + 8C {\ displaystyle a ^ {2} = 1 + 4h（h + 1）= 1 + 8C}

ここで、C：=（h + 1）h / 2 {\ displaystyle C：= {（h + 1）h} / 2}が整数であるという事実を利用します。

したがって、 k = 3の場合、hは整数です。

a2k−2 = 1 + 2kh {\ displaystyle a ^ {2 ^ {k-2}} = 1 + 2 ^ {k} h} a2k−1 =（1 + 2kh）2 = 1 + 2k + 1（h + 2k−1h2）{\ displaystyle a ^ {2 ^ {k-1}} =（1 + 2 ^ {k} h）^ {2} = 1 + 2 ^ {k + 1}（h + 2 ^ {k -1} h ^ {2}）}

誘導、K≥3は、我々はしているA2K-2≡1（mod2k）によって{\ displaystyleのA ^ {2 ^ {K-2}} \当量1 {\ PMOD {2 ^ {K}}}}。

λ（2k）{\ displaystyle \ lambda（2 ^ {k}）}は最大2k-2 {\ displaystyle 2 ^ {k-2}}であると規定されています。

λ （ n ）はφ （ n ）を除算します

これは、有限アーベル群の指数が群の次数を分割しなければならないため、初等群理論に基づいています。 λ （ n ）はnを法とする整数の乗法群の指数であり、 φ （ n ）はその群の次数です。

したがって、カーマイケルの定理はオイラーの定理の研ぎ澄ましと見なすことができます。

可分性

a |b⇒λ（a）|λ（b）{\ displaystyle a | b \ Rightarrow \ lambda（a）| \ lambda（b）}

証明。結果は式から得られます

λ（n）=lcm⁡（λ（p1r1）、λ（p2r2）、…、λ（pkrk））{\ displaystyle \ lambda（n）= \ operatorname {lcm} {\ big（} \ lambda（p_ {1 } ^ {r_ {1}}）、\、\ lambda（p_ {2} ^ {r_ {2}}）、\、\ ldots、\、\ lambda（p_ {k} ^ {r_ {k}}） {\大きい ）}}

上記の通り。

構成

すべての正の整数a {\ displaystyle a}およびb {\ displaystyle b}に対して、

λ（lcm（a、b））= lcm（λ（a）、λ（b））{\ displaystyle \ lambda（\ mathrm {lcm}（a、b））= \ mathrm {lcm}（\ lambda（a ）、\ lambda（b））}。

これは、カーマイケル関数の再帰的定義の直接的な結果です。

指数サイクル長

n {\ displaystyle n}が素因数分解の下で最大素数指数rmax {\ displaystyle r _ {\ rm {max}}}を持つ場合、すべてのa {\ displaystyle a}（n {\ displaystyle n }）およびすべてのr≥rmax{\ displaystyle r \ geq r _ {\ rm {max}}}、

ar≡ar+λ（n）（modn）{\ displaystyle a ^ {r} \ equiv a ^ {r + \ lambda（n）} {\ pmod {n}}}

特に、squarefree n {\ displaystyle n}（rmax = 1 {\ displaystyle r _ {\ rm {max}} = 1}）の場合、すべてのa {\ displaystyle a}

a≡aλ（n）+1（modn）{\ displaystyle a \ equiv a ^ {\ lambda（n）+1} {\ pmod {n}}}

平均値

任意のN≥16の場合：

1n∑i≤nλ（i）=nln⁡neB（1 + o（1））ln⁡ln⁡n/（ln⁡ln⁡ln⁡n）{\ displaystyle {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i \ leq n} \ lambda（i）= {\ frac {n} {\ ln n}} e ^ {B（1 + o（1））\ ln \ ln n /（\ ln \ ln \ ln n）}}

（続編ではエルド近似と呼ばれる）

B：= e−γ∏p∈P（1−1（p−1）2（p + 1））≈0.34537{\ displaystyle B：= e ^ {-\ gamma} \ prod _ {p \ in \ mathbb {P}} \ left（{1-{\ frac {1} {（p-1）^ {2}（p + 1）}}} \ right）\ approx 0.34537}

およびγ≈0.57721{\ displaystyle \ gamma \ approx 0.57721}、オイラー・マスケローニ定数。

次の表は、正確な平均とそのエルド近似の両方について、λ関数の最初の226–1 = 67108863値の概要を示しています。

さらに、より簡単にアクセスできる「対数上の対数」値の概要LoL（ n ）：= lnλ（ n ）⁄ln n

  • LoL（ n ）> 4/5⟺λ（n）> n4 / 5 {\ displaystyle \ Longleftrightarrow \ quad \ lambda（n）> n ^ {4/5}}

そこでは、列の行番号26のテーブルエントリ

  • ％LoL> 4/5⟶{\ displaystyle \ longrightarrow} 60.49

は、数値n∈{1、…、67108863} {\ displaystyle n \ in \ {1、\ ldots、67108863 \}}の60.49％（≈40,000,000）がλ（n）> n4 / 5 {\ displaystyle \ lambda（n）> n ^ {4/5}}は、λ値の大部分が長さl：=log2⁡（n）{\ displaystyle l：= \ log _ {2}（n）で指数関数的であることを意味します入力n {\ displaystyle n}の}、すなわち（245）l = 24l5 =（2l）45 = n45 {\ displaystyle {\ biggl（} 2 ^ {\ tfrac {4} {5}} {\ biggr）} ^ {l} = 2 ^ {\ tfrac {4 \、l} {5}} = {\ bigl（} 2 ^ {l} {\ bigr）} ^ {\ tfrac {4} {5}} = n ^ {\ tfrac {4} {5}}}。

ν n = 2ν –1 和
≤i≤nλ（i）{\ displaystyle \ sum _ {i \ leq n} \ lambda（i）} 		平均
1n∑i≤nλ（i）{\ displaystyle {\ tfrac {1} {n}} \ sum _ {i \ leq n} \ lambda（i）}
エルド平均
エルド/正確
-平均
LoL-average
％LoL> 4/5
％LoL> 7/8
5 31 270 8.709677 68.643 7.8813 0.678244 41.94 35.48
6 63 964 15.301587 61.414 4.0136 0.699891 38.10 30.16
7 127 3574 28.141732 86.605 3.0774 0.717291 38.58 27.56
8 255 12994 50.956863 138.190 2.7119 0.730331 38.82 23.53
9 511 48032 93.996086 233.149 2.4804 0.740498 40.90 25.05
10 1023 178816 174.795699 406.145 2.3235 0.748482 41.45 26.98
11 2047 662952 323.865169 722.526 2.2309 0.754886 42.84 27.70
12 4095 2490948 608.290110 1304.810 2.1450 0.761027 43.74 28.11
13 8191 9382764 1145.496765 2383.263 2.0806 0.766571 44.33 28.60
14 16383 35504586 2167.160227 4392.129 2.0267 0.771695 46.10 29.52
15 32767 134736824 4111.967040 8153.054 1.9828 0.776437 47.21 29.15
16 65535 513758796 7839.456718 15225.43 1.9422 0.781064 49.13 28.17
17 131071 1964413592 14987.40066 28576.97 1.9067 0.785401 50.43 29.55
18 262143 7529218208 28721.79768 53869.76 1.8756 0.789561 51.17 30.67
19 524287 28935644342 55190.46694 101930.9 1.8469 0.793536 52.62 31.45
20 1048575 111393101150 106232.8409 193507.1 1.8215 0.797351 53.74 31.83
21 2097151 429685077652 204889.9090 368427.6 1.7982 0.801018 54.97 32.18
22 4194303 1660388309120 395867.5158 703289.4 1.7766 0.804543 56.24 33.65
23 8388607 6425917227352 766029.1187 1345633 1.7566 0.807936 57.19 34.32
24 16777215 24906872655990 1484565.386 2580070 1.7379 0.811204 58.49 34.43
25 33554431 96666595865430 2880889.140 4956372 1.7204 0.814351 59.52 35.76
26 67108863 375619048086576 5597160.066 9537863 1.7041 0.817384 60.49 36.73

優勢な間隔

すべての数字のNとOが、すべての（N）正の整数N≤N（大半«実勢»を）の場合：

λ（n）= n /（ln⁡n）ln⁡ln⁡ln⁡n+ A + o（1）{\ displaystyle \ lambda（n）= n /（\ ln n）^ {\ ln \ ln \ ln n + A + o（1）}}

定数で

A：= − 1 + ∑p∈Pln⁡p（p−1）2≈0.2269688。{\ displaystyle A：=-1+ \ sum _ {p \ in \ mathbb {P}} {\ frac {\ ln p } {（p-1）^ {2}}} \ approx 0.2269688 \。}

下限

十分に大きい数Nおよび任意のΔ≥（ln⁡ln⁡N）3 {\ displaystyle \ Delta \ geq（\ ln \ ln N）^ {3}}に対して、最大で

Ne−0.69（Δln⁡Δ）1/3 {\ displaystyle Ne ^ {-0.69（\ Delta \ ln \ Delta）^ {1/3}}}

正の整数n≤N{\ displaystyle n \ leq N}λ（n）≤ne-Δ{\ displaystyle \ lambda（n）\ leq ne ^ {-\ Delta}}

正の整数のシーケンスn1 n2 n3 ⋯{\ displaystyle n_ {1} n_ {2} n_ {3} \ cdots}、任意の定数0 c 1 /ln⁡2{\ displaystyle 0 c 1 / \ ln 2}、および十分に大きいi ：

λ（ni）>（ln⁡ni）cln⁡ln⁡ln⁡ni{\ displaystyle \ lambda（n_ {i}）>（\ ln n_ {i}）^ {c \ ln \ ln \ ln n_ {i} }}。

小さな値

定数cおよび十分に大きい正のAの場合、整数n> A {\ displaystyle n> A}が存在するため、λ（n）（ln⁡A）cln⁡ln⁡ln⁡A{\ displaystyle \ lambda（ n）（\ ln A）^ {c \ ln \ ln \ ln A}}。さらに、 nは次の形式です。

n = ∏（q−1）| m、qはprimeq {\ displaystyle n = \ prod _ {（q-1）| m {\ text {and}} q {\ text {is prime}}} q}

一部の無平方整数m （ln⁡A）cln⁡ln⁡ln⁡A{\ displaystyle m （\ ln A）^ {c \ ln \ ln \ ln A}}に対して。

関数の画像

Carmichael関数の値のセットには、カウント関数があります

x（log⁡x）η+ o（1）、{\ displaystyle {\ frac {x} {（\ log x）^ {\ eta + o（1）}}} \、}

ここで、η= 1−1 +log⁡log⁡2log⁡2= 0.08607 {\ displaystyle \ eta = 1-{\ frac {1+ \ log \ log 2} {\ log 2}} = 0.08607}…。

暗号化で使用

Carmichael関数は、RSA暗号化アルゴリズムで使用されるため、暗号化で重要です。

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