弾むボール
跳ねるボールの物理学は、跳ねるボールの物理的挙動、特に他の物体の表面に衝突する前、衝突中、および衝突後の動きに関係しています。バウンドするボールの挙動のいくつかの側面は、高校または学部レベルの物理学コースのメカニクスの入門として役立ちます。ただし、動作の正確なモデリングは複雑であり、スポーツエンジニアリングでは興味深いものです。
一般的に、ボールの動きは、発射物の動き（重力、抗力、マグヌス効果、および浮力の影響を受ける可能性があります）で表されますが、その影響は通常、反発係数（性質の影響を受ける可能性があります）によって特徴付けられますボール、衝撃面の性質、衝撃速度、回転、温度や圧力などの局所条件）。公平なプレーを確保するために、多くのスポーツ運営団体はボールの弾力性に制限を設け、ボールの空力特性の改ざんを禁止しています。ボールの弾力性は、メソアメリカのボールゲームと同じくらい古いスポーツの特徴でした。
飛行中の力と動きへの影響
バウンドするボールの動きは、発射体の動きに従います。多くの力が実際のボールに作用します。すなわち、重力（ F G）、空気抵抗による抗力（ F D）、ボールのスピンによるマグナス力（ F M）、および浮力（ F B）です。 。一般に、ボールの動きを分析するには、すべての力を考慮してニュートンの2番目の法則を使用する必要があります。
∑F = ma、FG + FD + FM + FB = ma = mdvdt = md2rdt2、{\ displaystyle {\ begin {aligned} \ sum \ mathbf {F}＆= m \ mathbf {a}、\\\ mathbf {F } _ {\ text {G}} + \ mathbf {F} _ {\ text {D}} + \ mathbf {F} _ {\ text {M}} + \ mathbf {F} _ {\ text {B} }＆= m \ mathbf {a} = m {\ frac {d \ mathbf {v}} {dt}} = m {\ frac {d ^ {2} \ mathbf {r}} {dt ^ {2}} }、\ end {aligned}}}ここで、 mはボールの質量です。ここで、 a 、 v 、 rは、時間tにわたるボールの加速度、速度、および位置を表します。
重力
重力は下向きであり、等しい
FG = mg、{\ displaystyle F _ {\ text {G}} = mg、}ここで、 mはボールの質量、 gは重力加速度で、地球上では9.764 m / s2〜9.834 m / s2の間で変化します。通常、他の力は小さいため、運動はしばしば重力の影響下にあるものとして理想化されます。重力のみがボールに作用する場合、飛行中に機械的エネルギーが節約されます。この理想的なケースでは、運動方程式は
a = −gj ^、v = v0 + at、r = r0 + v0t + 12at2、{\ displaystyle {\ begin {aligned} \ mathbf {a}＆=-g \ mathbf {\ hat {j}}、\\ \ mathbf {v}＆= \ mathbf {v} _ {\ text {0}} + \ mathbf {a} t、\\\ mathbf {r}＆= \ mathbf {r} _ {0} + \ mathbf { v} _ {0} t + {\ frac {1} {2}} \ mathbf {a} t ^ {2}、\ end {aligned}}}ここで、a 、 v 、およびrはボールの加速度、速度、および位置を示し、 v 0およびr 0はそれぞれボールの初期速度および位置を示します。
より具体的には、ボールが地面に対して角度θで跳ね返される場合、 x軸およびy 軸の動き（それぞれ水平および垂直の動きを表す）は、
| x -axis ax = 0、vx =v0cos（θ）、x = x0 +v0cos（θ）t、{\ displaystyle {\ begin {aligned} a _ {\ text {x}}＆= 0、\\ v_ {\ text {x}}＆= v_ {0} \ cos \ left（\ theta \ right）、\\ x＆= x_ {0} + v_ {0} \ cos \ left（\ theta \ right）t、\ end {aligned}}} | y軸ay = −g、vy =v0sin（θ）−gt、y = y0 +v0sin（θ）t−12gt2。{\ displaystyle {\ begin {aligned} a _ {\ text {y}}＆= -g、\\ v _ {\ text {y}}＆= v_ {0} \ sin \ left（\ theta \ right）-gt、\\ y＆= y_ {0} + v_ {0} \ sin \ left（ \ theta \ right）t-{\ frac {1} {2}} gt ^ {2}。\ end {aligned}}} |
方程式は、平面で跳ねるボールの最大高さ（ H ）と範囲（ R ）および飛行時間（ T ）が次の式で与えられることを意味します。
H =v022gsin2（θ）、R =v02gsin（2θ）、T =2v0gsin（θ）。{\ displaystyle {\ begin {aligned} H＆= {\ frac {v_ {0} ^ {2}} {2g }} \ sin ^ {2} \ left（\ theta \ right）、\\ R＆= {\ frac {v_ {0} ^ {2}} {g}} \ sin \ left（2 \ theta \ right）、 〜{\ text {and}} \\ T＆= {\ frac {2v_ {0}} {g}} \ sin \ left（\ theta \ right）。\ end {aligned}}}空気抵抗（および抗力や風などの関連する効果）、マグナス効果、浮力を考慮することにより、ボールの動きをさらに細かくすることができます。より軽いボールはより容易に加速するため、ボールの動きはそのような力によってより影響を受ける傾向があります。
引っ張る
ボールの周りの空気の流れは、レイノルズ数（Re）に応じて層流または乱流のいずれかになり、次のように定義されます。
Re =ρDvμ、{\ displaystyle {\ text {Re}} = {\ frac {\ rho Dv} {\ mu}}、}ここで、 ρは空気の密度、 μは空気の動的粘度、 Dはボールの直径、 vは空気を通るボールの速度です。温度20°Cで、 ρ = 1.2 kg / m3およびμ = 1.8×10-5 Pa・s。
レイノルズ数が非常に小さい（Re 1）場合、ボールにかかる抗力はストークスの法則で記述されます。
FD =6πμrv、{\ displaystyle F _ {\ text {D}} = 6 \ pi \ mu rv、}ここで、 rはボールの半径です。この力は、ボールの方向と反対に作用します（-v ^ {\ displaystyle \ textstyle-{\ hat {\ mathbf {v}}}}の方向）。ただし、ほとんどのスポーツボールの場合、レイノルズ数は104〜105であり、ストークスの法則は適用されません。レイノルズ数のこれらのより高い値では、ボールに対する抗力は、代わりに抗力方程式によって記述されます。
FD =12ρCdAv2、{\ displaystyle F _ {\ text {D}} = {\ frac {1} {2}} \ rho C _ {\ text {d}} Av ^ {2}、}ここで、 C dは抗力係数、 Aはボールの断面積です。
ドラッグにより、ボールは飛行中に機械的エネルギーを失い、ボールの範囲と高さが減少しますが、横風はボールを元の経路からそらせます。ゴルフなどのスポーツの選手は、両方の効果を考慮する必要があります。
マグナス効果
ボールのスピンは、マグナス効果によってその軌道に影響します。 Kutta–Joukowskiの定理によれば、非粘性の空気の流れがある回転する球体の場合、マグナス力は次のようになります。
FM =83πr3ρωv、{\ displaystyle F _ {\ text {M}} = {\ frac {8} {3}} \ pi r ^ {3} \ rho \ omega v、}ここで、 rはボールの半径、 ωはボールの角速度（またはスピン速度）、 ρは空気の密度、 vは空気に対するボールの速度です。この力は、運動に垂直で、回転軸に垂直に向けられます（ω^×v ^ {\ displaystyle \ textstyle {\ hat {\ mathbf {\ omega}}} \ times {\ hat {\ mathbfの方向に） {v}}}}）。この力は、バックスピンでは上向きに、トップスピンでは下向きに向けられます。現実には、流れは決して非粘性ではなく、マグナスのリフトは
FM =12ρCLAv2、{\ displaystyle F _ {\ text {M}} = {\ frac {1} {2}} \ rho C _ {\ text {L}} Av ^ {2}、}ここで、 ρは空気の密度、 C Lは揚力係数、 Aはボールの断面積、 vは空気に対するボールの速度です。揚力係数は、比rω / v 、レイノルズ数、および表面粗さに特に依存する複雑な要因です。特定の条件では、揚力係数が負になることもあり、マグヌス力の方向が変わります（逆マグナス効果）。
テニスやバレーボールなどのスポーツでは、プレーヤーはマグヌス効果を使用して、飛行中にボールの軌道を制御できます（トップスピンまたはバックスピン経由など）。ゴルフでは、通常、ゴルファーに不利なスライスとフックの効果がありますが、ドライブや他のショットの範囲を広げるのにも役立ちます。野球では、投手はこの効果を使用してカーブボールやその他の特殊なピッチを作成します。
ボールの改ざんは違法であることが多く、2006年8月にイングランドとパキスタンで行われたクリケットの論争の中心にあります。野球では、「スピットボール」という用語は、ボールを唾液またはその他の物質で違法にコーティングすることを指しますボールの空気力学。
浮力
水や空気などの流体に浸された物体は、上向きの浮力を受けます。アルキメデスの原理によれば、この浮力は、物体によって押しのけられた流体の重量に等しい。球の場合、この力は
FB =43πr3ρg。{\ displaystyle F _ {\ text {B}} = {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3} \ rho g。}浮力は通常、抗力やマグヌス力に比べて小さく、しばしば無視することができます。ただし、バスケットボールの場合、浮力はボールの重量の約1.5％になります。浮力は上向きであるため、ボールの範囲と高さを増やすように作用します。
影響
| フロリアン・コーン（2013）。 「スローモーションで跳ねるボール：ラバーボール」。 YouTube。 |
ボールが表面に衝突すると、表面が跳ね返って振動し、ボールと同様に音と熱の両方が発生し、ボールは運動エネルギーを失います。さらに、衝撃はボールに回転を与え、その並進運動エネルギーの一部を回転運動エネルギーに変換します。このエネルギー損失は、通常、反発係数（またはCOR、 eと表記）によって（間接的に）特徴付けられます。
e = −vf-ufvi-ui、{\ displaystyle e =-{\ frac {v _ {\ text {f}}-u _ {\ text {f}}} {v _ {\ text {i}}-u _ {\テキスト{i}}}}、}ここで、 v fとv iはボールの最終速度と初期速度、 u fとu iはそれぞれ表面に衝突する最終速度と初期速度です。ボールが不動の表面に衝突する特定のケースでは、CORは
e = −vfvi。{\ displaystyle e =-{\ frac {v _ {\ text {f}}} {v _ {\ text {i}}}}。}したがって、ボールが床に落ちた場合、CORは0（バウンスなし、エネルギーの全損失）〜1（完全に弾む、エネルギー損失なし）の間で変化します。 COR値が0未満または1を超えることは理論的には可能ですが、ボールが表面を通過したこと（ e 0）、またはボールが衝突したときに表面が「緩和」されなかったこと（ e > 1）を示します。バネ仕掛けのプラットフォームにボールが着地する場合。
動きの垂直成分と水平成分を分析するために、CORは、 通常の COR（ e y）と接線方向 COR（ e x）に分割され、
ey = −vyf-uyfvyi-uyi、{\ displaystyle e _ {\ text {y}} =-{\ frac {v _ {\ text {yf}}-u _ {\ text {yf}}} {v _ {\ text { yi}}-u _ {\ text {yi}}}}、} ex = −（vxf−rωf）−（uxf−RΩf）（vxi−rωi）−（uxi−RΩi）、{\ displaystyle e _ {\ text { x}} =-{\ frac {（v _ {\ text {xf}}-r \ omega _ {\ text {f}}）-（u _ {\ text {xf}}-R \ Omega _ {\ text { f}}）} {（v _ {\ text {xi}}-r \ omega _ {\ text {i}}）-（u _ {\ text {xi}}-R \ Omega _ {\ text {i}} ）}}、}ここで、 rとωはボールの半径と角速度を示し、 RとΩは衝突面（野球のバットなど）の半径と角速度を示します。特に、 rωはボールの表面の接線速度であり、 RΩは衝突面の接線速度です。これらは、ボールが斜めの角度で表面に衝突する場合、または回転が関与する場合に特に重要です。
ボールに重力のみが作用する、回転のない地面への真っ直ぐな落下の場合、CORは次のようにいくつかの他の量に関連付けることができます。
e = | vfvi | = KfKi = UfUi = HfHi = TfTi = gTf28Hi。{\ displaystyle e = \ left | {\ frac {v _ {\ text {f}}} {v _ {\ text {i}}}} \ right | = {\ sqrt {\ frac {K _ {\ text {f}}} {K _ {\ text {i}}}}} = {\ sqrt {\ frac {U _ {\ text {f}}} {U_ { \ text {i}}}}} = {\ sqrt {\ frac {H _ {\ text {f}}} {H _ {\ text {i}}}}} = {\ frac {T _ {\ text {f} }} {T _ {\ text {i}}}} = {\ sqrt {\ frac {gT _ {\ text {f}} ^ {2}} {8H _ {\ text {i}}}}}。ここで、 KとUはボールの運動エネルギーとポテンシャルエネルギー、 Hはボールの最大高さ、 Tはボールの飛行時間です。 「i」および「f」添え字は、ボールの初期（インパクト前）および最終（インパクト後）の状態を示します。同様に、衝突時のエネルギー損失はCORに関連する可能性があります。
エネルギー損失= Ki−KfKi×100％=（1−e2）×100％。{\ displaystyle {\ text {Energy Loss}} = {\ frac {{K _ {\ text {i}}}-{K _ {\ text {f}}}} {K _ {\ text {i}}}} \ times 100 \％= \ left（1-e ^ {2} \ right）\ times 100 \％。}ボールのCORは、主にいくつかの影響を受けます。主に
- 衝突面の性質（草、コンクリート、金網など）
- ボールの材料（例：革、ゴム、プラスチック）
- ボール内部の圧力（中空の場合）
- インパクト時にボールに誘導される回転量
- 衝撃速度
温度などの外部条件は、打撃面またはボールの特性を変化させ、それらをより柔軟または剛性にすることができます。これにより、CORが影響を受けます。一般に、ボールはより高い衝撃速度でより変形し、それに応じてより多くのエネルギーを失い、CORを減少させます。
スピンと衝撃の角度
地面に衝突すると、ボールの衝突角度と角速度に応じて、一部の並進運動エネルギーを回転運動エネルギーに変換できます。インパクト時にボールが水平方向に動くと、摩擦はボールの動きと反対の方向に「並進」成分を持ちます。図では、ボールは右に移動しているため、ボールを左に押す摩擦の並進成分があります。さらに、ボールがインパクト時に回転している場合、摩擦にはボールの回転と反対方向の「回転」成分があります。この図では、ボールは時計回りに回転しており、地面に衝突する点はボールの重心に対して左に移動しています。したがって、摩擦の回転成分はボールを右に押します。通常の力や重力とは異なり、これらの摩擦力はボールにトルクを及ぼし、角速度（ ω ）を変化させます。
次の3つの状況が発生する可能性があります。
- バックスピンでボールが前方に推進されると、並進と回転の摩擦が同じ方向に作用します。衝突後、ボールの角速度は水平速度と同様に減少し、ボールは上方に推進され、場合によっては元の高さを超えます。また、ボールが反対方向に回転を始めたり、後方に跳ね返ることもあります。
- ボールがtopspinで前方に推進されると、並進および回転摩擦作用は反対方向に作用します。正確に何が起こるかは、2つのコンポーネントのどちらが優位であるかによって異なります。
- ボールが動いているよりもはるかに速く回転している場合、回転摩擦が支配的です。ボールの角速度はインパクト後に減少しますが、その水平速度は増加します。ボールは前方に推進されますが、元の高さを超えず、同じ方向に回転し続けます。
- ボールが回転するよりもはるかに速く動いている場合、並進摩擦が支配的になります。ボールの角速度はインパクト後に増加しますが、水平速度は減少します。ボールは元の高さを超えず、同じ方向に回転し続けます。
表面がθだけ傾斜している場合、ダイアグラム全体がθだけ回転しますが、重力は下向きのままです（表面と角度θを形成します）。重力は表面に平行な成分を持ち、摩擦に寄与し、回転に寄与します。
卓球やラケットボールなどのラケットスポーツでは、熟練したプレーヤーはスピン（サイドスピンを含む）を使用して、地面や相手のラケットなどの表面に衝突したときにボールの方向を突然変更します。
非球形ボール
楕円形のボール（グリッドアイアンフットボールやラグビーフットボールで使用されるボールなど）の跳ね返りは、一般に球形のボールの跳ね返りよりもはるかに予測しにくいです。インパクト時のボールのアライメントに応じて、法線力がボールの重心の前後に作用する可能性があります。地面からの摩擦は、ボールのアライメント、回転、スピン、インパクト速度に依存します。ボールが地面を転がるとボールの重心に対して力が変化し、法線力や重力を含むすべての力がボールにトルクを及ぼすことができます。これにより、ボールが前方に跳ね返ったり、後方に跳ね返ったり、横向きになったりすることがあります。回転運動エネルギーの一部を並進運動エネルギーに変換することが可能であるため、CORが1を超えることや、ボールが衝突時に前進する速度が増加することさえあります。
複数の積み重ねられたボール
| 物理少女（2015）。 「積み重ねられたボールドロップ」。 YouTube。 | |
| striperfly2002（2012）。 「スローモーションボールドロップ」。 YouTube。 |
人気のあるデモンストレーションには、積み重ねられた複数のボールの跳ね返りが含まれます。テニスボールがバスケットボールの上に積み重ねられ、その2つが同時にドロップされた場合、テニスボールは、元のリリースの高さを超えても、単独でドロップした場合よりもはるかに高く跳ね返ります。結果は明らかにエネルギーの保存に違反しているため、驚くべき結果です。しかし、綿密な検査で、バスケットボールは、テニスボールがその上になかった場合のように跳ね返ることはなく、そのエネルギーの一部をテニスボールに移し、より高い位置に推進します。
通常の説明では、バスケットボールが床にインパクトを与え、次にバスケットボールがテニスボールにインパクトを与えるという2つの別個のインパクトを考慮する必要があります。完全に弾性的な衝突を仮定すると、1 m / sで床に衝突するバスケットボールは1 m / sでリバウンドします。 1 m / sで進むテニスボールの相対衝撃速度は2 m / sになります。つまり、バスケットボールに対して2 m / s、または床に対して3 m / sでリバウンドし、その3 倍になります。リバウンド速度は、床に単独で衝突する場合と比較します。これは、ボールが元の高さの9倍に跳ね返ることを意味します。実際には、非弾性衝突により、テニスボールはその速度とリバウンドの高さをより小さな係数で増加させますが、それ自体よりも速く跳ね返ります。
個別の衝撃の仮定は実際には有効ではありませんが（ほとんどの衝撃の間、ボールは互いに密接に接触したままです）、それでもこのモデルは実験結果をよく一致して再現し、次のようなより複雑な現象を理解するためによく使用されます超新星のコア崩壊、または重力のパチンコ操作。
スポーツ規制
いくつかのスポーツ運営団体は、さまざまな方法でボールの弾力性を規制しています。直接的な方法と間接的な方法があります。
- AFL：サッカーのゲージ圧を62 kPa〜76 kPaの間に調整します。
- FIBA：ゲージ圧を調整して、バスケットボールが1800 mm（ボールの下部）の高さから落とされたときに、バスケットボールが1200〜1400 mm（ボールの上部）で跳ね返るようにします。これはおおよそ0.727〜0.806のCORに相当します。
- FIFA：サッカーボールのゲージ圧を、海抜0.6〜1.1気圧（61〜111 kPa）に調整します。
- FIVB：バレーボールのゲージ圧を、屋内バレーボールでは0.30 kgF / cm2から0.325 kgF / cm2（29.4から31.9 kPa）、ビーチバレーボールでは0.175 kgF / cm2から0.225 kgF / cm2（17.2から22.1 kPa）の間に調整します。 。
- ITF：「高質量の滑らかで硬くて水平なブロック」にドロップしたときのテニスボールの跳ね返りの高さを調整します。異なるタイプの表面には、異なるタイプのボールが許可されます。 100インチ（254 cm）の高さから落とす場合、バウンスはタイプ1ボールでは54〜60インチ（137〜152 cm）、タイプ2およびタイプ3ボールでは53〜58インチ（135〜147 cm）でなければなりません。高高度ボール用の48〜53インチ（122〜135 cm）。これは、テストサーフェスにドロップしたときのCOR 0.735〜0.775（タイプ1ボール）、0.728〜0.762（タイプ2および3ボール）、および0.693〜0.728（高高度ボール）にほぼ対応します。
- ITTF：卓球のボールが30 cmの高さから落ちたときに約23 cm跳ねるように、競技面を調整します。これは、プレイ面に対する約0.876のCORにほぼ相当します。
- NBA：バスケットボールのゲージ圧を7.5〜8.5 psi（51.7〜58.6 kPa）に調整します。
- NFL：アメリカンフットボールのゲージ圧を12.5〜13.5 psi（86〜93 kPa）に調整します。
- R＆A / USGA：ゴルフボールのCORを直接制限します。これは、ゴルフクラブに対して0.83を超えてはなりません。
アメリカンフットボールの圧力は、デフレートゲート論争の中心にありました。一部のスポーツでは、ボールの跳ね返り特性を直接規制せず、代わりに構築方法を指定しています。野球では、コルクベースのボールの導入により、デッドボール時代が終結し、ライブボール時代が始まりました。
