ボレルサブグループ
代数群の理論では、代数群Gの Borelサブグループは、最大のZariski閉で接続された可解な代数サブグループです。たとえば、グループGLn （ nxn可逆マトリックス）では、可逆上三角マトリックスのサブグループはBorelサブグループです。
代数的に閉じたフィールド上で実現されるグループには、Borelサブグループの単一の共役クラスがあります。
ボレルサブグループは、ジャックティッツの（B、N）ペアを持つグループの理論において、単純な（より一般的には還元的な）代数グループの構造を理解する2つの重要な要素の1つです。ここで、グループBはボレルサブグループであり、 NはBに含まれる最大トーラスの正規化子です。
この概念は、代数群の理論の発展において主導的な役割を果たしたアルマンボレルによって導入されました。
放物線サブグループ
ボレルサブグループBとアンビエントグループGの間のサブグループは放物線サブグループと呼ばれます。放物型サブグループPは、代数サブグループの中でも、 G / Pが完全な多様体であるという条件によって特徴付けられます。代数的に閉じたフィールドを扱うと、Borelサブグループはこの意味で最小の放物線サブグループであることがわかります。したがって、同次空間G / Bが「できるだけ大きい」完全な多様体である場合、Bはボレルサブグループです。
単純な代数群Gの場合、放物線サブグループの共役クラスのセットは、対応するダイキン図のノードのすべてのサブセットのセットと全単射です。 Borelサブグループは空のセットに対応し、 G自体はすべてのノードのセットに対応します。 （一般に、ダイキンダイアグラムの各ノードは、単純な負のルートを決定し、したがって、 Gの 1次元の「ルートグループ」を決定します。したがって、ノードのサブセットは、 Bおよび対応する負のルートグループによって生成される放物線サブグループを生成します。さらに、任意の放物線サブグループは、そのような放物線サブグループに共役しています。）
例
G = GL4（C）{\ displaystyle G = GL_ {4}（\ mathbb {C}）}とします。 G {\ displaystyle G}のBorelサブグループB {\ displaystyle B}は、上三角行列のセットです
{A =：det（A）≠0} {\ displaystyle \ left \ {A = {\ begin {bmatrix} a_ {11}＆a_ {12}＆a_ {13}＆a_ {14} \\ 0＆a_ {22}＆a_ { 23}＆a_ {24} \\ 0＆0＆a_ {33}＆a_ {34} \\ 0＆0＆0＆a_ {44} \ end {bmatrix}}：\ det（A）\ neq 0 \ right \}}
そしてB {\ displaystyle B}を含むG {\ displaystyle G}の最大固有放物線サブグループは
{}、{}、{} {\ displaystyle \ left \ {{\ begin {bmatrix} a_ {11}＆a_ {12}＆a_ {13}＆a_ {14} \\ 0＆a_ {22}＆a_ {23}＆a_ {24 } \\ 0＆a_ {32}＆a_ {33}＆a_ {34} \\ 0＆a_ {42}＆a_ {43}＆a_ {44} \ end {bmatrix}} \ right \}、{\ text {}} \ left \ { {\ begin {bmatrix} a_ {11}＆a_ {12}＆a_ {13}＆a_ {14} \\ a_ {21}＆a_ {22}＆a_ {23}＆a_ {24} \\ 0＆0＆a_ {33}＆a_ {34} \\ 0＆0＆a_ {43}＆a_ {44} \ end {bmatrix}} \ right \}、{\ text {}} \ left \ {{\ begin {bmatrix} a_ {11}＆a_ {12}＆a_ {13}＆a_ {14} \\ a_ {21}＆a_ {22}＆a_ {23}＆a_ {24} \\ a_ {31}＆a_ {32}＆a_ {33}＆a_ {34} \\ 0＆0＆0＆a_ {44} \ end {bmatrix} }\右\}}
また、B {\ displaystyle B}の最大トーラスは
{：a11⋅a22⋅a33⋅a44≠0} {\ displaystyle \ left \ {{\ begin {bmatrix} a_ {11}＆0＆0＆0 \\ 0＆a_ {22}＆0＆0 \\ 0＆0＆a_ {33}＆0 \\ 0＆0＆0＆a_ {44} \ end {bmatrix}}：a_ {11} \ cdot a_ {22} \ cdot a_ {33} \ cdot a_ {44} \ neq 0 \ right \}}
これは代数トーラスと同型（C ∗）4 = Spec（C）{\ displaystyle（\ mathbb {C} ^ {*}）^ {4} = {\ text {Spec}}（\ mathbb {C}） }。
リー代数
リー代数g {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}とカルタン部分代数h {\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}の特別な場合、h {\ displaystyle {\ mathfrak {h }}}、ボレル部分代数は、h {\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}とg {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}の正の重みを持つ重み空間の直接和です。ボレル部分代数を含むg {\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}のリー部分代数は、放物線リー代数と呼ばれます。
