副産物

カテゴリの理論と数学への応用では、オブジェクトの有限集合の副生成は 、ゼロオブジェクトとカテゴリに、製品および副生成物の両方です。前加法のカテゴリーでは、製品と共同製品の概念は、オブジェクトの有限コレクションに対して一致します。副産物は、モジュールの有限直接和の一般化です。

定義

Cをカテゴリにします。

CのオブジェクトA 1、...、 A nの有限（おそらく空）のコレクションを考えると、それらの副産物はオブジェクトA1⊕⋯⊕An{\ textstyle A_ {1} \ oplus \ dots \ oplus A_ {n}}です射とCで

pk：A1⊕⋯⊕An→Ak {\ textstyle p_ {k} \ !: A_ {1} \ oplus \ dots \ oplus A_ {n} \ to A_ {k}} in C （ 射影射 ）
ik：Ak→A1⊕⋯⊕An{\ textstyle i_ {k} \ !: A_ {k} \ to A_ {1} \ oplus \ dots \ oplus A_ {n}}（ 埋め込み射影 ）

そしてそのようなこと

（A1⊕⋯⊕An、pk）{\ textstyle \ left（A_ {1} \ oplus \ dots \ oplus A_ {n}、p_ {k} \ right）}はAk、{\ textstyle A_ { k}、}および
（A1⊕⋯⊕An、ik）{\ textstyle \ left（A_ {1} \ oplus \ dots \ oplus A_ {n}、i_ {k} \ right）}はAkの副産物です。{\ textstyle A_ { k}。}

空の製品またはヌルの製品は、常にカテゴリ内の最終オブジェクトであり、空の連産品は常にカテゴリ内の初期オブジェクトです。したがって、空の、またはヌルの副産物は常にゼロのオブジェクトです。バイプロダクションの健康科学はどうですか

例

アーベル群のカテゴリーでは、バイプロダクトは常に存在し、直接和によって与えられます。ゼロオブジェクトは自明なグループであることに注意してください。

同様に、バイプロダクトはフィールド上のベクトル空間のカテゴリに存在します。ここでも、バイプロダクトは直接和であり、ゼロオブジェクトは自明なベクトル空間です。

より一般的には、バイプロダクトはリング上のモジュールのカテゴリに存在します。

一方、副産物はグループのカテゴリには存在しません。ここでは、製品は直接製品ですが、副製品は無料製品です。

また、副産物はセットのカテゴリには存在しません。なぜなら、積はデカルト積によって与えられ、一方、共積は互いに素な結合によって与えられるからです。また、このカテゴリにはゼロオブジェクトがないことに注意してください。

ブロック行列代数は、行列のカテゴリのバイプロダクトに依存しています。

物性

カテゴリーCのオブジェクトAとBのすべてのペアにバイプロダクトA⊕B{\ textstyle A \ oplus B}が存在する場合、すべての有限のバイプロダクトが存在し、 Cをデカルトモノイダルカテゴリとコデカルトモノイダルカテゴリの両方にします。

製品A1×A2 {\ textstyle A_ {1} \ times A_ {2}}と連産品A1∐A2{\ textstyle A_ {1} \ coprod A_ {2}}の両方がオブジェクトA iのペアに対して存在する場合、ユニークなモルフィズムf：A1∐A2→A1×A2 {\ textstyle f：A_ {1} \ coprod A_ {2} \ to A_ {1} \ times A_ {2}}があります。

pk∘f∘ik= 1Ak {\ displaystyle p_ {k} \ circ f \ circ i_ {k} = 1_ {A_ {k}}}
pl∘f∘ik= 0 {\ displaystyle p_ {l} \ circ f \ circ i_ {k} = 0} for k≠l。{\ textstyle k \ neq l。}

つまり、 fが同型である場合にのみ、バイプロダクトA1⊕A2{\ textstyle A_ {1} \ oplus A_ {2}}が存在します。

Cが前加法のカテゴリーである場合、すべての有限積が副産物であり、すべての有限共積が副産物です。たとえば、A1×A2 {\ textstyle A_ {1} \ times A_ {2}}が存在する場合、一意の射影ik：Ak→A1×A2 {\ textstyle i_ {k}：A_ {k} \ to A_ {1} \ times A_ {2}}など

pk∘ik= 1Ak {\ displaystyle p_ {k} \ circ i_ {k} = 1_ {A_ {k}}}
pl∘ik= 0 {\ displaystyle p_ {l} \ circ i_ {k} = 0} for k≠l。{\ textstyle k \ neq l。}

A1×A2 {\ textstyle A_ {1} \ times A_ {2}}も副産物であり、したがって副産物であることを確認するために、fk：Ak→X {\ textstyle f_ {k}：A_ {一部のオブジェクトX {\ textstyle X}の場合はk} \ to X}。 f：=f1∘p1+f2∘p2。{\ textstyle f：= f_ {1} \ circ p_ {1} + f_ {2} \ circ p_ {2}を定義します。} f：A1×A2→X { \ textstyle f：A_ {1} \ times A_ {2} \ to X}は射であり、f∘ik= fk {\ textstyle f \ circ i_ {k} = f_ {k}}です。

この場合、常に

i1∘p1+i2∘p2= 1A1×A2。{\ textstyle i_ {1} \ circ p_ {1} + i_ {2} \ circ p_ {2} = 1_ {A_ {1} \ times A_ {2}} 。}

加法カテゴリーは、すべての有限副産物が存在する前加法カテゴリーです。特に、副産物は常にアーベルカテゴリーに存在します。