算術グループ
数学では、 算術群は代数群の整数点として得られる群、たとえばSL2（Z）。{\ displaystyle \ mathrm {SL} _ {2}（\ mathbb {Z}）}二次形式の算術的性質および数論における他の古典的なトピックの研究。それらはまた、リーマン多様体の非常に興味深い例を生み出し、したがって微分幾何学およびトポロジーにおける関心対象です。最後に、これらの2つのトピックは、現代の数論の基本である自己同型形式の理論に参加します。
歴史
算術群の数学的理論の起源の1つは代数的数論です。 Charles Hermite、Hermann Minkowskiなどによる二次形式およびエルミート形式の古典的簡約理論は、関連する対称空間での特定の算術グループの動作の基本領域の計算と見なすことができます。このトピックは、ミンコフスキーの数の幾何学と、判別式などの数体の算術不変量の研究の初期の開発に関連していました。算術グループは、数値フィールドの単位グループを非可換設定に広範に一般化したものと考えることができます。
同じグループは、古典的なモジュラー形式とその一般化の研究が発展するにつれて、解析的数論にも現れました。もちろん、2つのトピックは関連していました。たとえば、分析手法を使用した特定の基本ドメインのボリュームのLanglandsの計算に見られるように。この古典理論は、多くの場合に基本領域の体積の有限性を示したシーゲルの研究で頂点に達しました。
近代理論が基礎的な仕事を始めるために必要であり、代数グループに関するアルマン・ボレル、アンドレ・ワイル、ジャック・ティッツなどの仕事によって提供されました。その後まもなく、ボボリュームとハリッシュ・チャンドラによって、共体積の有限性が完全に一般的に証明されました。一方、リーグループの格子の一般理論については、Atle Selberg、Grigori Margulis、David Kazhdan、MS Raghunathanなどによって進展がありました。この期間後の最新技術は、1972年に公開されたラグナタンの論文で本質的に修正されました。
70年代、マルグリスは「ほとんど」の場合、算術構文が特定のリーグループのすべてのラティスを説明することを証明することで、このトピックに革命をもたらしました。この方向のいくつかの限られた結果はセルバーグによって以前に得られていましたが、マルグリスの方法（均質空間での行動に対するエルゴード理論的ツールの使用）はこの文脈では完全に新しいものであり、後の開発に非常に影響を与え、効果的に更新しました数字の幾何学の古い主題であり、マルグリス自身がオッペンハイムの予想を証明できるようにする;より強力な結果（ラトナーの定理）は、後にマリーナラトナーによって得られました。
別の方向では、モジュラー形式の古典的なトピックは、自己同型形式の現代理論に開花しました。この取り組みの背後にある推進力は、主にロバートラングランズによって開始されたラングランズプログラムです。そこで使用される主なツールの1つは、セルバーグの作品に由来し、ジェームズアーサーによって最も一般的な設定で開発されたトレース式です。
最後に、算術群は、局所対称リーマン多様体の興味深い例を構築するためによく使用されます。特に活発な研究テーマは算術双曲線3多様体で、ウィリアムサーストンが書いたように、「...しばしば特別な美しさを持っているようです」。
定義と構築
算術グループ
G {\ displaystyle \ mathrm {G}}がGLn（Q）{\ displaystyle \ mathrm {GL} _ {n}（\ mathbb {Q}）}の代数サブグループである場合、n {\ displaystyle n} G（Q）{\ displaystyle \ mathrm {G}（\ mathbb {Q}）}の算術サブグループを整数点のグループΓ= GLn（Z）∩G（Q）として定義できます。{\ displaystyle \ Gamma = \ mathrm {GL} _ {n}（\ mathbb {Z}）\ cap \ mathrm {G}（\ mathbb {Q}）。一般に、「整数」の概念を正確に理解する方法はそれほど明確ではありません。 Q {\ displaystyle \ mathbb {Q}}-グループのポイント」、および上記で定義されたサブグループは、異なる埋め込みG→GLn（Q）を使用すると変更できます。{\ displaystyle \ mathrm {G} \ to \ mathrm {GL } _ {n}（\ mathbb {Q}）。}
したがって、より良い概念は、G（Q）{\ displaystyle \ mathrm {G}（\ mathbb {Q}）}の算術サブグループの定義を、通約可能な任意のグループΛ{\ displaystyle \ Lambda}を取ることです（これは、 Γ/（Γ∩Λ）{\ displaystyle \ Gamma /（\ Gamma \ cap \ Lambda）}とΛ/（Γ∩Λ）{\ displaystyle \ Lambda /（\ Gamma \ cap \ Lambda）}は有限集合です） （GLn {\ displaystyle \ mathrm {GL} _ {n}}への埋め込みに関して）上記のように定義されたグループΓ{\ displaystyle \ Gamma}へ。この定義により、代数群G {\ displaystyle \ mathrm {G}}には、すべて互いに通約可能な「離散」サブグループのコレクションが関連付けられます。
数値フィールドを使用する
上記の構造の自然な一般化は次のとおりです。F{\ displaystyle F}を整数の環O {\ displaystyle O}およびG {\ displaystyle \ mathrm {G}}の数値フィールドとし、F {\ディスプレイスタイルF}。埋め込みρ：G→GLn {\ displaystyle \ rho：\ mathrm {G} \ to \ mathrm {GL} _ {n}}がF {\ displaystyle F}で定義されている場合、サブグループρ-1（GLn （O））⊂G（F）{\ displaystyle \ rho ^ {-1}（\ mathrm {GL} _ {n}（O））\ subset \ mathrm {G}（F）}は正当に算術と呼ぶことができますグループ。
一方、このようにして得られたグループのクラスは、上で定義した算術グループのクラスより大きくありません。実際、F {\ displaystyle F}からQ {\ displaystyle \ mathbb {にスカラーを制限することによって得られるQ {\ displaystyle \ mathbb {Q}}上の代数群G '{\ displaystyle \ mathrm {G}'}を考慮すると、 Q}}およびQ {\ displaystyle \ mathbb {Q}}埋め込みρ '：G'→GLdn {\ displaystyle \ rho '：\ mathrm {G}' \ to \ mathrm {GL} _ {dn}} ρ{\ displaystyle \ rho}（d = {\ displaystyle d =}）の場合、上記で構築されたグループは（ρ '）-1（GLnd（Z））{\ displaystyle（\ rho'）^ {- 1}（\ mathrm {GL} _ {nd}（\ mathbb {Z}））}。
例
算術グループの古典的な例は、SLn（Z）{\ displaystyle \ mathrm {SL} _ {n}（\ mathbb {Z}）}、または密接に関連するグループPSLn（Z）{\ displaystyle \ mathrm {PSL}です。 _ {n}（\ mathbb {Z}）}、GLn（Z）{\ displaystyle \ mathrm {GL} _ {n}（\ mathbb {Z}）}およびPGLn（Z）{\ displaystyle \ mathrm {PGL} _ {n}（\ mathbb {Z}）}。 n = 2 {\ displaystyle n = 2}の場合、グループPSL2（Z）{\ displaystyle \ mathrm {PSL} _ {2}（\ mathbb {Z}）}、またはSLn（Z）{\ displaystyle \ mathrm { SL} _ {n}（\ mathbb {Z}）}は、モジュラー曲線に関連しているため、モジュラーグループと呼ばれます。同様の例は、SiegelモジュラーグループSp2g（Z）{\ displaystyle \ mathrm {Sp} _ {2g}（\ mathbb {Z}）}です。
他のよく知られ、研究されている例には、ビアンキグループSL2（O-m）、{\ displaystyle \ mathrm {SL} _ {2}（O _ {-m}）、}が含まれます。ここで、m> 0 {\ displaystyle m> 0}は無平方整数であり、O-m {\ displaystyle O _ {-m}}はフィールドQ（-m）の整数のリングです。{\ displaystyle \ mathbb {Q}（{\ sqrt {-m}} ）、}およびヒルベルト—ブルーメンタルモジュラーグループSL2（Om）{\ displaystyle \ mathrm {SL} _ {2}（O_ {m}）}。
別の古典的な例は、SO（n、1）（Z）{\ displaystyle \ mathrm {SO}（n、1）（\ mathbb）のように、数値体で定義された二次形式の直交群の積分要素によって与えられます{Z}）}。関連する構成は、数値フィールド上の四元数代数の順序の単位グループを取ることです（たとえば、Hurwitz四元数順序）。同様の構成は、エルミート形式のユニタリグループで実行できます。よく知られている例は、Picardモジュラーグループです。
半単純リー群の算術格子
G {\ displaystyle G}がLieグループの場合、G {\ displaystyle G}の算術格子を次のように定義できます。代数グループG {\ displaystyle \ mathrm {G}}に対してQ {\ displaystyle \ mathbb { Q}}コンパクトGのモルフィズムG（R）→G {\ displaystyle \ mathrm {G}（\ mathbb {R}）\ to G}、G（Q）{の算術サブグループの画像\ displaystyle \ mathrm {G}（\ mathbb {Q}）}は、G {\ displaystyle G}の算術格子です。したがって、たとえば、G = G（R）{\ displaystyle G = \ mathrm {G}（\ mathbb {R}）}で、G {\ displaystyle G}がGLn {\ displaystyle \ mathrm {GL}のサブグループである場合_ {n}}の場合、G∩GLn（Z）{\ displaystyle G \ cap \ mathrm {GL} _ {n}（\ mathbb {Z}）}はG {\ displaystyle G}の算術格子です（ただし、さらに多く、他の埋め込みに対応）;たとえば、SLn（Z）{\ displaystyle \ mathrm {SL} _ {n}（\ mathbb {Z}）}はSLn（R）{\ displaystyle \ mathrm {SL} _ {n}（\ mathbb {R}）}。
ボレル・ハリッシュ・チャンドラの定理
リー群の格子は、通常、有限の共体積を持つ離散サブグループとして定義されます。ボレルとハリッシュチャンドラによる定理が、半単純なリー群の算術部分群は有限の共体積であると述べているので、上記で導入された用語はこれと首尾一貫しています（離散性は明らかです）。
定理はより正確です。G{\ displaystyle G}の「フォーム」が定義に使用される場合にのみ、算術格子が共コンパクトであることを示します（すなわち、Q {\ displaystyle \ mathbb {Q}}-グループG { \ displaystyle \ mathrm {G}}）は異方性です。たとえば、Q {\ displaystyle \ mathbb {Q}}上のn {\ displaystyle n}変数の2次形式に関連付けられた算術格子は、2次形式が消えない場合にのみ、関連付けられた直交グループでコンパクトになります。 Qn∖{0} {\ displaystyle \ mathbb {Q} ^ {n} \ setminus \ {0 \}}の任意の時点で。
マルグリスの算術定理
マルグリスが得た壮大な結果は、ボレル・ハリッシュ・チャンドラの定理とは部分的に逆になっています。特定のリー群については、格子はすべて算術です。この結果は、2より大きい実数ランクの半単純リー群のすべての既約格子に当てはまります。たとえば、n≥3{\ displaystyle n \ geq 3}の場合、SLn（R）{\ displaystyle \ mathrm {SL} _ {n}（\ mathbb {R}）}のすべてのラティスは算術です。マルグリスが彼の定理を証明するために使用した主な新しい要素は、彼がこの目的のために証明した上位グループの格子の超剛性でした。
既約性は、G {\ displaystyle G}が実ランク1の係数を持ち（それ以外の場合は定理が常に成り立つ）、単純ではない場合にのみ役割を果たします。つまり、製品分解G = G1×G2 {\ displaystyle G = G_ { 1} \ times G_ {2}}格子は、各因子Gi {\ displaystyle G_ {i}}の格子の積に通約可能ではありません。たとえば、SL2（R）×SL2（R）{\ displaystyle \ mathrm {SL} _ {2のラティスSL2（Z）{\ displaystyle \ mathrm {SL} _ {2}（\ mathbb {Z}）} }（\ mathbb {R}）\ times \ mathrm {SL} _ {2}（\ mathbb {R}）}は既約ですが、SL2（Z）×SL2（Z）{\ displaystyle \ mathrm {SL} _ { 2}（\ mathbb {Z}）\ times \ mathrm {SL} _ {2}（\ mathbb {Z}）}はそうではありません。
特定のランク1リー群、つまりn⩾1{\ displaystyle n \ geqslant 1}のSp（n、1）{\ displaystyle \ mathrm {Sp}（n、1）}については、マルグリスの算術（および超剛性）定理が成り立ちます。例外的なグループF4-20 {\ displaystyle F_ {4} ^ {-20}}。すべてのグループSO（n、1）{\ displaystyle \ mathrm {SO}（n、1）}をn⩾2{\ displaystyle n \ geqslant 2}（GPSを参照）およびSU（ n、1）{\ displaystyle \ mathrm {SU}（n、1）} n = 1,2,3 {\ displaystyle n = 1,2,3}の場合。 n⩾4{\ displaystyle n \ geqslant 4}の場合、グループSU（n、1）{\ displaystyle \ mathrm {SU}（n、1）}には既知の非算術格子はありません。
算術フクシアンおよびクライン群
算術フクシアングループは、次のデータから構築されます。完全実数体F {\ displaystyle F}、四元数代数A {\ displaystyle A} over F {\ displaystyle F}および次数O {\ displaystyle {\ mathcal { O}}} A {\ displaystyle A}で。 σ：F→R {\ displaystyle \ sigma：F \ to \ mathbb {R}}を埋め込むために、代数Aσ⊗FR{\ displaystyle A ^ {\ sigma} \ otimes _ {F} \ mathbb { R}}は、行列代数M2（R）{\ displaystyle M_ {2}（\ mathbb {R}）}と同型であり、他のすべてについてはハミルトン四元数と同型です。ユニットのグループO1 {\ displaystyle {\ mathcal {O}} ^ {1}}は、（Aσ⊗FR）1 {\ displaystyle（A ^ {\ sigma} \ otimes _ {F} \ mathbb { R}）^ {1}}はSL2（R）と同型であり、{\ displaystyle \ mathrm {SL} _ {2}（\ mathbb {R}）、}であり、A以外の場合はすべてコンパクトです。 {\ displaystyle A}はQ上の行列代数です。{\ displaystyle \ mathbb {Q}。} SL2（R）{\ displaystyle \ mathrm {SL} _ {2}（\ mathbb {R}）}のすべての算術格子この方法で取得されます（整合性まで）。
算術クライン群も同様に構成されますが、F {\ displaystyle F}には1つの複雑な場所が必要で、A {\ displaystyle A}はすべての実際の場所でハミルトン四元数である必要があります。 SL2（C）のすべての算術通約可能性クラスを使い果たします。{\ displaystyle \ mathrm {SL} _ {2}（\ mathbb {C}）。}
分類
すべての半単純なLieグループG {\ displaystyle G}について、理論的には、G = \ displaystyle G}のすべての算術格子を（通約可能まで）分類することは、G = SL2（R）、SL2（ C）{\ displaystyle G = \ mathrm {SL} _ {2}（\ mathbb {R}）、\ mathrm {SL} _ {2}（\ mathbb {C}）}は上記で説明しました。これは、実数点がG {\ displaystyle G}のコンパクトな因子まで同型である代数群を分類することになります。
合同サブグループ問題
合同サブグループは、（おおよそ）整数を法とする特定の方程式を満たすすべての行列を取得することによって定義される算術群のサブグループです。たとえば、1（それぞれ0に一致する対角（それぞれ非対角）係数を持つ2 x 2整数行列のグループ） ）正の整数を法として。これらは常に有限インデックスサブグループであり、合同サブグループ問題は、すべてのサブグループがこの方法で取得されるかどうかを大まかに尋ねます。推測（通常はJean-Pierre Serreに起因する）は、これは上位グループの（既約）算術格子に当てはまり、ランク1グループには当てはまらないということです。この一般性ではまだ公開されていますが、ラティス（正と負の両方の場合）。
S-算術グループ
算術格子の定義で積分点をとる代わりに、有限数の素数から離れた整数だけの点をとることができます。これは、 S {\ displaystyle S}-算術格子の概念につながります （S {\ displaystyle S}は反転した素数の集合を表します）。プロトタイプの例は、SL2（Z）{\ displaystyle \ mathrm {SL} _ {2} \ left（\ mathbb {Z} \ left \ right）}です。また、それらは特定のトポロジカルグループの自然な格子でもあります。たとえば、SL2（Z）{\ displaystyle \ mathrm {SL} _ {2} \ left（\ mathbb {Z} \ left \ right）}はSL2（R）の格子です。 ×SL2（Qp）。{\ displaystyle \ mathrm {SL} _ {2}（\ mathbb {R}）\ times \ mathrm {SL} _ {2}（\ mathbb {Q} _ {p}）。}
定義
S {\ displaystyle S}のS {\ displaystyle S}算術グループの形式的な定義は、有限数の素数の集合は、GLn（Z）{\ displaystyle \ mathrm {GL} _ {nの算術グループと同じです。 }（\ mathbb {Z}）} GLn（Z）{\ displaystyle \ mathrm {GL} _ {n} \ left（\ mathbb {Z} \ left \ right）}に置き換えられます。N{\ displaystyle N}はS {\ displaystyle S}の素数の積。
局所フィールド上のリーグループの格子
Borel–Harish-Chandraの定理は、S {\ displaystyle S}-算術グループに次のように一般化されます。Γ{\ displaystyle \ Gamma}がQ {\ displaystyle \ mathbb {Q }}-代数群G {\ displaystyle \ mathrm {G}}ならば、Γ{\ displaystyle \ Gamma}は局所的にコンパクトな群の格子
G = G（R）×∏p∈SG（Qp）{\ displaystyle G = \ mathrm {G}（\ mathbb {R}）\ times \ prod _ {p \ in S} \ mathrm {G}（\ mathbb {Q} _ {p}）}。いくつかのアプリケーション
明示的なエキスパンダーグラフ
Kazhdanのプロパティ（T）またはLubotzkyおよびZimmerのより弱いプロパティ（τ{\ displaystyle \ tau}）を持つ算術グループを使用して、エキスパンダーグラフ（Margulis）、またはラマヌジャングラフ（Lubotzky—Phillips—Sarnak）を構築できます。そのようなグラフは、確率的な結果によって豊富に存在することが知られていますが、これらの構造の明示的な性質は興味深いものになります。
極値表面とグラフ
算術曲面の合同カバーは、大きな入射半径を持つ曲面を生成することが知られています。同様に、Lubotzky—Phillips—Sarnakによって作成されたラマヌジャングラフは、大きな胴回りを持っています。実際、ラマヌジャンの特性自体が、グラフの局所的な周囲幅がほぼ常に大きいことを意味することが知られています。
アイソスペクトル多様体
算術グループを使用して、等スペクトル多様体を構築できます。これはマリー・フランス・ビニャーラスによって最初に実現され、それ以降、彼女の構造に関する多くのバリエーションが現れました。実際、アイソスペクトルの問題は、算術多様体の制限された設定での研究に特に適しています。
偽の射影平面
偽の射影平面は、射影平面P2（C）{\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {2}（\ mathbb {C}）}と同じベッティ数を持つ複雑な表面ですが、双正則ではありません。最初の例はマンフォードによって発見されました。 Klinglerの作業（Yeungによっても独立して証明された）によって、そのようなものはすべてPU（2,1）{\ displaystyle \ mathrm {PU}（2,1）}の算術格子による2ボールの商です。可能性のある格子はプラサドとヨンによって分類され、分類はカートライトとステガーによって完了されました。カートライトとステガーは実際にそれらが偽の射影平面に対応することを確認しました。
