アレクサンダー・バルチェンコ

Alexander Nikolaevich Varchenko （ロシア語：АлександрНиколаевичВарченко、1949年2月6日生まれ）は、幾何学、トポロジー、組み合わせ論、数理物理学で働くソビエトおよびロシアの数学者です。

バックグラウンド

1964年から1966年にかけて、バルチェンコはモスクワコルモゴ​​ロフ寄宿学校で、アンドレイコルモゴロフとヤの才能のある高校生のために18番で勉強しました。 A.スモロディンスキーは数学と物理学を講義していました。ヴァルチェンコは1971年にモスクワ州立大学を卒業しました。彼はウラジミールアーノルドの学生でした。ヴァルチェンコは博士号を擁護しました。 1974年の代数集合と写像の家族の位相的等式に関する論文定理と、1982年の関数の臨界点の積分と代数幾何不変量の漸近学博士。1974年から1984年まで、モスクワ州立大学の研究科学者。 1985年から1990年に、ガブキン石油研究所の教授であり、1991年からノースカロライナ大学チャペルヒル校のアーネストエリエル教授を務めました。

バルチェンコは、1974年にバンクーバーで開催された国際数学者会議（代数幾何学のセクション）および1990年に京都で開催された国際会議（総括演説）の招待講演者でした。 1973年、彼はモスクワ数学学会賞を受賞しました。

研究

1971年、ヴァルチェンコは、既約基底を持つ複雑な準射影代数集合のファミリーが、基底のZariskiオープンサブセット上でトポロジー的に局所的な自明な束を形成することを証明しました。オスカー・ザリスキーが推測したこの声明は、1937年に公開された複雑な代数超曲面の補数の基本群に関するザリスキーの定理の証明にギャップを埋めていた。1973年、ヴァルチェンコはルネ・トムの予想が一般的な滑らかなマップは、トポロジカルに多項式マップの生殖と同等であり、有限次元のトポロジカル多目的変形を持ちますが、非ジェネリックマップは、すべての生殖の空間で無限余次元のサブセットを形成します。

バルチェンコは、特異点理論におけるニュートン多角形の理論の作成者の一人であり、特に、ニュートン多角形と関数の臨界点に関連する振動積分の漸近性に関する式を与えました。数式を使用して、Varchenkoは、苛性アルカリ上の点の光の輝度が隣接する点の輝度以上ではないというVI Arnoldの半連続的推測に対する反例を作成しました。

ヴァルチェンコは、臨界点の変形下での臨界点のスペクトルの半連続性に関する予想を定式化し、準均質特異点の低重量の変形に対してそれを証明した。半連続性を使用して、Varchenkoは与えられた次数と次元の射影超曲面の特異点の数について上からの推定値を与えました。

ヴァルチェンコは、コホモロジーに漸近混合ホッジ構造を導入し、消失サイクルのファミリー上の正則微分形式の積分の漸近性を研究することにより、関数の臨界点で消失します。このような積分は、パラメーター（関数の値）に依存します。積分には2つの特性があります。パラメーターが臨界値に近づくときの速度、ゼロになる傾向、およびパラメーターが臨界値を回るときの積分の変化です。最初のプロパティは漸近混合ホッジ構造のホッジフィルターを定義するために使用され、2番目のプロパティは重量フィルターを定義するために使用されました。

16番目のヒルベルト問題の2番目の部分は、与えられた次数の多項式ベクトル場のリミットサイクルの数に上限があるかどうかを判断することです。アーノルドVIによって定式化された無限の16番目のヒルベルト問題は、多項式ハミルトニアンのレベル曲線の族にわたって多項式微分形式の積分のゼロの数の上限が存在するかどうかを決定することです。微分形式の係数とハミルトニアンの次数。バルチェンコは、極小の第16ヒルベルト問題に境界の存在を証明しました。

Vadim SchechtmanとVarchenkoは、Knizhnik–Zamolodchikov方程式（またはKZ方程式）で適切なGauss–Manin接続を特定し、KZ方程式の多次元超幾何解を構築しました。その構造では、適切な相同性グループの要素によってソリューションにラベルが付けられました。次に、ホモロジーグループは適切な量子グループの表現のテンソル積の多重度空間で識別され、KZ方程式のモノドロミー表現は関連するRマトリックス表現で識別されました。この構造は、KZ方程式のモノドロミーに関するKohno-Drinfeldの定理​​の幾何学的証明を与えました。同様の図が、Giovanni FelderおよびVitaly Tarasovとの共同研究で、量子KZ方程式（またはqKZタイプの差分方程式）について開発されました。

90年代後半に、Felder、Pavel Etingof、およびVarchenkoが動的量子群の理論を開発しました。 KZタイプの方程式と互換性のある動的方程式は、G。フェルダー、Y。マルコフ、V。タラソフとの共同論文で紹介されました。アプリケーションでは、動的方程式は部分フラグ多様体のコタンジェントバンドルの量子微分方程式として表示されます。

で、エフゲニー・ムヒン、タラソフ、およびバルチェンコは、実際の代数幾何学におけるボリス・シャピロとマイケル・シャピロの予想を証明しました：1つの変数の多項式の複雑な有限次元ベクトル空間のロンスキー行列式が実根のみを持つ場合、ベクトル空間は実数係数を持つ多項式の基底。

N次元平面のグラスマン型のシューベルト多様体の交差インデックスは、一般線形群GLN {\ displaystyle \ operatorname {GL}の表現の適切なテンソル積における不変量の空間の次元と一致することが古典的に知られています。 _ {N}}。で、Mukhin、Tarasov、およびVarchenkoはこの事実を分類し、そのような不変量空間上のGaudinモデルのBethe代数が、対応するSchubert多様体の交点上の関数の代数と同型であることを示しました。アプリケーションとして、彼らは、シューベルト多様体が明確な実際の接触フラグに関して定義されている場合、多様体は横方向に交差し、すべての交差点が現実であることを示しました。この特性は、シューベルト計算の現実と呼ばれます。

本

• アーノルド、VI; Guseĭn-Zade、SM; Varchenko、微分可能マップの特異点。巻I.臨界点、コースティクス、波面の分類。数学のモノグラフ、82。BirkhäuserBoston、Inc.、ボストン、マサチューセッツ州、1985。xi+ 382 pp。ISBN 0-8176-3187-9
• アーノルド、VI; Guseĭn-Zade、SM; Varchenko、微分可能マップの特異点。巻II。モノドロミーと積分の漸近。数学のモノグラフ、83。BirkhäuserBoston、Inc.、ボストン、マサチューセッツ州、1988。viii + 492 pp。ISBN 0-8176-3185-2
• Etingof、P .; Varchenko、A.ラウンドドロップの境界が4次の曲線になる理由（大学講義シリーズ）、AMS 1992、ISBN 0821870025
• Varchenko、A.多次元超幾何関数とリー代数と量子群の表現理論。数理物理学の高度なシリーズ、21。World Scientific Publishing Co.、Inc.、River Edge、NJ、1995。x+ 371 pp。ISBN 981-02-1880-X
• Varchenko、A。特殊関数、KZ型方程式、および表現理論。 CBMS Regional Conference Series in Mathematics、98。ワシントンDCの数理科学会議委員会に掲載。 American Mathematical Society、プロビデンス、RI、2003年。viii+ 118 pp。ISBN 0-8218-2867-3