添加物カテゴリー

数学では、特に圏論では、 添加剤のカテゴリは 、すべての有限演算biproductsを認める前加法圏のCです。

定義

カテゴリーCは、そのすべてのホモセットがアーベル群であり、射の構成が双線形である場合、前加法的です。言い換えると、 Cはアーベル群のモノイドのカテゴリーよりも豊富です。

前加法のカテゴリーでは、すべての最終製品（空の製品、つまり最終オブジェクトを含む）は必然的に副産物（または空のダイアグラムの場合は初期オブジェクト）であり、したがって副産物であり、逆にすべての最終副産物は必然的に製品（これは定義の結果であり、その一部ではありません）。

したがって、加法カテゴリは、すべての最終製品を認める前加法カテゴリ、またはすべての最終共製品を認める前加法カテゴリとして同等に説明されます。

加法カテゴリを定義するもう1つの、まだ同等の方法は、ゼロオブジェクト、有限の共積、および有限の製品を持ち、共積から製品への正準マップが存在するカテゴリ（前加法ではないと想定）です。

X∐Y→X∏Y {\ displaystyle X \ coprod Y \ to X \ prod Y}

同型です。この同型を使用して、Hom（X、Y）{\ displaystyle \ mathrm {Hom}（X、Y）}に可換モノイド構造を装備できます。最後の要件は、これが実際にはアーベル群であることです。前述の定義とは異なり、この定義では、データとしてではなくプロパティとして、Homセットの補助的な加法グループ構造が必要ではありません。

空の副生成は必ずしもカテゴリでゼロオブジェクトであり、すべての有限演算biproductsを認めるカテゴリは、多くの場合、 セミアディティブと呼ばれることに注意してください。以下に示すように、すべての準加法カテゴリーには自然な加法があります。そのため、加法カテゴリーを、すべてのモルフィズムに加法逆数があるという性質を持つ準加法カテゴリーとして定義することもできます

一般化

より一般的には、可換環Rの加法R線形カテゴリも考慮します。これらは、Rモジュールのモノイダルカテゴリよりも豊富なカテゴリであり、すべての最終的な副産物を受け入れます。

例

加法カテゴリーの元の例は、アーベル群Abのカテゴリーです。ゼロオブジェクトは自明なグループであり、射の追加は点ごとに与えられ、バイプロダクトは直接和によって与えられます。

より一般的には、リングR上のすべてのモジュールカテゴリは加算的であるため、特に、フィールドK上のベクトル空間のカテゴリは加算的です。

以下で説明するカテゴリと考えられる、リング上の行列の代数も加法的です。

加算則の内部特性

Cを準加法的カテゴリー、つまりすべての最終的な副産物を持つカテゴリーとします。次に、すべてのhom-setに追加があり、アーベルモノイドの構造を与え、射の構成が双線形になるようにします。

さらに、 Cが加法の場合、hom-setsの2つの加算は一致しなければなりません。特に、準加法カテゴリは、すべてのモルフィズムに加法逆数がある場合にのみ加法です。

これは、加法カテゴリの加算則がそのカテゴリの内部にあることを示しています。

加算則を定義するために、バイプロダクトの場合、 p kは射影射を示し、 i kは射射射を示すという規則を使用します。

まず、オブジェクトAごとに

対角線射 Δ：満たすP k の ⊕A→A∘Δ= 1つの、K = 1、2 A、および
codiagonal射 ∇：⊕のA→満足∇∘iは K = 1、2 = 1 A Kです 。

次に、2射αkは所与：→B Aは、ユニーク射α1の⊕のα2が存在する：P L が ∘（α1の⊕のα2）∘iは kは kが = lの場合αをK等しくなるよう⊕のA→Bの ⊕Bを 、そしてそれ以外の場合は0。

したがって、α1+α2：=∇：（α1⊕α2）∘∆を定義できます。

この追加は、可換および結合の両方です。結合性は、構成を考慮することで確認できます

A→ΔA⊕A⊕A→α1⊕α2⊕α3B⊕B⊕B→∇B {\ displaystyle A \ {\ xrightarrow {\ quad \ Delta \ quad}} \ A \ oplus A \ oplus A \ {\ xrightarrow {\ alpha _ {1} \、\ oplus \、\ alpha _ {2} \、\ oplus \、\ alpha _ {3}}} \ B \ oplus B \ oplus B \ {\ xrightarrow {\ quad \ナブラ\ quad}} \ B}

私たちは、そのαに∘P 1⊕0 = I 1∘αを使用して、α+ 0 =αを持っています。

また、たとえば∆∘β=（β⊕β）∘∆および（α1⊕α2）∘（β1⊕β2）=（α1∘β1）⊕（α2∘β2）を使用する双線形です。

我々は、Iこれを用いて、1つの∘P 1 + I 2∘P 2 = 1.有する副生成⊕Bについて、我々はマトリックスのような任意の射A⊕B→C⊕Dを表すことができることを発言します。

射の行列表現

所与のオブジェクト1、...、A nおよびB 1、...、添加カテゴリにおけるB M、我々は射Fを表すことができる：1⊕⋅⋅⋅⊕A N→B 1⊕⋅⋅⋅⊕B m行n列の行列として

（f11f12⋯f1nf21f22⋯f2n⋮⋮⋯⋮fm1fm2⋯fmn）{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} f_ {11}＆f_ {12}＆\ cdots＆f_ {1n} \\ f_ {21}＆f_ {22}＆\ cdots＆f_ {2n} \\\ vdots＆\ vdots＆\ cdots＆\ vdots \\ f_ {m1}＆f_ {m2}＆\ cdots＆f_ {mn} \ end {pmatrix}}}ここでfkl：=pk∘f∘ il：Al→Bk。{\ displaystyle f_ {kl}：= p_ {k} \ circ f \ circ i_ {l} \ colon A_ {l} \ to B_ {k}。}

Σkは iは ∘= 1 P k を k個ことを使用して、添加およびマトリックスの組成は、行列加算と行列乗算のための通常のルールに従うことになります。

したがって、加法カテゴリは、行列の代数が理にかなっている最も一般的なコンテキストと見なすことができます。

単一のオブジェクトAからそれ自体への射が内部同型リングEnd（ A ）を形成することを思い出してください。 A自体とA nのn倍積をA nで表すと、 A nからA mまでの射は、リングEnd（ A ）からのエントリを持つm行n列の行列です。

逆に、任意の環Rが与えられた場合、自然数の集合（ゼロを含む）でインデックス付けされたオブジェクトA nを取り、 A nからA mまでの射のホモ集合を次の集合とすることにより、カテゴリMat （ R ）を形成できますR上のm行n列の行列。合成は行列の乗算によって与えられます。この場合、 Mat （ R ）は加法的カテゴリーであり、 A nはn乗（ A 1） nに等しくなります。

この構造は、リングがここに示すように、オブジェクトが1つだけの加法性カテゴリーであるという結果と比較する必要があります。

我々は、オブジェクトAを解釈N左モジュールR nとして、このマトリックスカテゴリ R.上左モジュールのカテゴリのサブカテゴリになった場合

これは、通常、0行または0列の行列を考えないため、mまたはnがゼロである特別な場合に混乱を招く可能性があります。ただし、この概念には意味があります。そのような行列にはエントリがないため、サイズによって完全に決定されます。これらの行列はかなり縮退していますが、追加カテゴリにはオブジェクトがゼロでなければならないため、追加カテゴリを取得するために含める必要があります。

そのような行列について考えることは、ある意味では有用です：加法カテゴリのオブジェクトAおよびBが与えられた場合、Aから0へのモルフィズムは1つだけであるという事実を強調しています（ちょうど0行1つだけであるように） End（ A ））にエントリを持つ行列と0からBまでのちょうど1つの射（End（ B ）にエントリを持つ1行0列の行列がちょうど1つあるように）–これは、0がゼロオブジェクト。さらに、縮退行列を乗算することで計算できるように、AからBへのゼロモルフィズムはこれらのモルフィズムの合成です。

加算ファンクター

ファンクタF：それは各HOMセットC内にアーベル群準同型である場合preadditiveカテゴリ間のC→Dは、 添加剤です。カテゴリが加算的である場合、ファンクターはすべてのバイプロダクト図を保持している場合にのみ加算的です。

つまり、Bが射影射影p kと射影射影k jをもつCのA 1、...、 A nの副産物である場合、 F （ B ）はF （ A 1）、...の副産物でなければなりません、射影型F （ p k ）および射型型F （ i k ）を持つDの F （ A n ）。

加法カテゴリー間で研究されるほぼすべてのファンクターは加法です。実際、加法カテゴリー間のすべての随伴ファンクターは加法ファンクターでなければならないという定理です（ここを参照）。すべてのカテゴリー理論で研究された最も興味深いファンクターは随伴です。

一般化

R線形加法カテゴリー間のファンクターを検討する場合、通常はR線形ファンクターに制限されるため、各ホモセットでRモジュール準同型を与えるファンクターです。

特殊なケース

プレアーベル型のカテゴリは、すべての射がカーネルとコーカーを持つ付加的なカテゴリです。
アーベル型のカテゴリは、すべての単型とエピモーフィズムが正常であるようなプレアーベル型のカテゴリです。

よく研究されている多くの加法的カテゴリーは、実際にはアーベル的カテゴリーです。たとえば、 Abはアーベルカテゴリです。無料のアーベル群は、加法ではあるがアーベルではないカテゴリーの例を提供します。