音響インピーダンス

音響インピーダンスと特定の音響インピーダンスは、システムに加えられる音圧に起因する音響流に対してシステムが提示する反対の尺度です。音響インピーダンスのSI単位は、1立方メートルあたりのパスカル秒（Pa・s / m3）または1平方メートルあたりのレイル（rayl / m2）であり、特定の音響インピーダンスの単位は1メートルあたりのパスカル秒（Pa・s / m）です。）またはrayl。この記事では、記号raylはMKS raylを示します。電気インピーダンスと密接な類似性があります。これは、システムに印加される電圧に起因する電気の流れに対してシステムが提示する反対を測定します。

数学的な定義

音響インピーダンス

線形時不変システムの場合、システムに適用される音圧と、その適用点での圧力の方向に垂直な表面を通過する音響体積流量との関係は、次の式で与えられます。

p（t）=（t）、{\ displaystyle p（t）=（t）、}

または同等に

Q（t）=（t）、{\ displaystyle Q（t）=（t）、}

どこ

pは音圧です。
Qは音響体積流量です。
∗ {\ displaystyle *}は畳み込み演算子です。
Rは時間領域の音響抵抗です。
G = R -1 は 、時間領域における音響コンダクタンス（R -1 は Rのコンボリューション逆です）。

Zで示される音響インピーダンスは、ラプラス変換、フーリエ変換、または時間領域音響抵抗の解析的表現です。

Z（s）= defL（s）= L（s）L（s）、{\ displaystyle Z（s）{\ stackrel {\ mathrm {def}} {{} = {}}} {\ mathcal {L} }（s）= {\ frac {{\ mathcal {L}}（s）} {{\ mathcal {L}}（s）}}、} Z（ω）= defF（ω）= F（ω）F （ω）、{\ displaystyle Z（\ omega）{\ stackrel {\ mathrm {def}} {{} = {}}} {\ mathcal {F}}（\ omega）= {\ frac {{\ mathcal { F}}（\ omega）} {{\ mathcal {F}}（\ omega）}}、} Z（t）= defRa（t）= 12（t）、{\ displaystyle Z（t）{\ stackrel { \ mathrm {def}} {{} = {}}} R _ {\ mathrm {a}}（t）= {\ frac {1} {2}} \！\ left \！（t）、}

どこ

L {\ displaystyle {\ mathcal {L}}}はラプラス変換演算子です。
F {\ displaystyle {\ mathcal {F}}}はフーリエ変換演算子です。
下付き文字「a」は分析表現演算子です。
Qは -1 Qの畳み込み逆です。

Rで表される音響抵抗とXで表される音響リアクタンスは 、それぞれ音響インピーダンスの実数部と虚数部です。

Z（s）= R（s）+ iX（s）、{\ displaystyle Z（s）= R（s）+ iX（s）、} Z（ω）= R（ω）+ iX（ω）、{ \ displaystyle Z（\ omega）= R（\ omega）+ iX（\ omega）、} Z（t）= R（t）+ iX（t）、{\ displaystyle Z（t）= R（t）+ iX （t）、}

どこ

iは虚数単位です。
Z （ s ）では、 R （ s ）は時間領域音響抵抗のラプラス変換ではありません R （ t ）、 Z （ s ）は
Z （ ω ）では、 R （ ω ）は時間領域の音響抵抗のフーリエ変換ではありません R （ t ）、 Z （ ω ）は
Z （ t ）では、分析表現の定義に従って、 R （ t ）は時間領域の音響抵抗、 X （ t ）は時間領域の音響抵抗R （ t ）のヒルベルト変換です。

X Lで示される誘導音響リアクタンスとX Cで示される容量性音響リアクタンスは 、それぞれ音響リアクタンスのプラス部分とマイナス部分です。

X（s）= XL（s）−XC（s）、{\ displaystyle X（s）= X_ {L}（s）-X_ {C}（s）、} X（ω）= XL（ω）− XC（ω）、{\ displaystyle X（\ omega）= X_ {L}（\ omega）-X_ {C}（\ omega）、} X（t）= XL（t）−XC（t）。{\表示スタイルX（t）= X_ {L}（t）-X_ {C}（t）。}

Yで表される音響アドミタンスは、ラプラス変換、フーリエ変換、または時間領域音響コンダクタンスの解析表現です。

Y（s）= defL（s）= 1Z（s）= L（s）L（s）、{\ displaystyle Y（s）{\ stackrel {\ mathrm {def}} {{} = {}}} { \ mathcal {L}}（s）= {\ frac {1} {Z（s）}} = {\ frac {{\ mathcal {L}}（s）} {{\ mathcal {L}}（s） }}、} Y（ω）= defF（ω）= 1Z（ω）= F（ω）F（ω）、{\ displaystyle Y（\ omega）{\ stackrel {\ mathrm {def}} {{} = {}}} {\ mathcal {F}}（\ omega）= {\ frac {1} {Z（\ omega）}} = {\ frac {{\ mathcal {F}}（\ omega）} {{\ mathcal {F}}（\ omega）}}、} Y（t）= defGa（t）= Z−1（t）= 12（t）、{\ displaystyle Y（t）{\ stackrel {\ mathrm {def }} {{} = {}}} G _ {\ mathrm {a}}（t）= Z ^ {-1}（t）= {\ frac {1} {2}} \！\ left \！（t ）、}

どこ

Z -1 Zの畳み込み逆です。
P -1 Pの畳み込み逆です。

Gで示される音響コンダクタンスとBで示される音響サセプタンスは 、それぞれ音響アドミタンスの実部と虚部です。

Y（s）= G（s）+ iB（s）、{\ displaystyle Y（s）= G（s）+ iB（s）、} Y（ω）= G（ω）+ iB（ω）、{ \ displaystyle Y（\ omega）= G（\ omega）+ iB（\ omega）、} Y（t）= G（t）+ iB（t）、{\ displaystyle Y（t）= G（t）+ iB （t）、}

どこ

Y （ s ）では、 G （ s ）は時間領域の音響コンダクタンスのラプラス変換ではありません G （ t ）、 Y （ s ）は
Y （ ω ）では、 G （ ω ）は時間領域の音響コンダクタンスG （ t ）のフーリエ変換ではなく、 Y （ ω ）は
Y （ t ）では、 G （ t ）は時間領域の音響コンダクタンスであり、 B （ t ）は分析表現の定義による時間領域の音響コンダクタンスG （ t ）のヒルベルト変換です。

音響抵抗は、音波のエネルギー伝達を表します。圧力と動きは同相であるため、作業は波の前の媒体で行われます。同様に、運動と位相がずれている圧力を表し、平均的なエネルギー移動を引き起こしません。たとえば、オルガンパイプに接続された閉じたバルブには空気が流れ込み、圧力がかかりますが、位相がずれているため、正味のエネルギーはそこに伝達されません。圧力が上昇し、空気が流入し、下降している間、空気は移動しますが、空気が移動するときの平均圧力は移動するときと同じなので、電力は前後に流れますが、時間平均エネルギーはありません転送。さらなる電気的アナロジーは、電力線に接続されたコンデンサです。電流はコンデンサを流れますが、電圧と位相がずれているため、正味電力はそこに伝送されません。

比音響インピーダンス

線形時不変システムの場合、システムに適用される音圧と、その適用点でのその圧力の方向の粒子速度との関係は、

p（t）=（t）、{\ displaystyle p（t）=（t）、}

または同等に：

v（t）=（t）、{\ displaystyle v（t）=（t）、}

どこ

pは音圧です。
vは粒子速度です。
rは時間領域の比音響抵抗です。
G = R -1 時間領域における比音響コンダクタンス（R -1、Rの畳み込み逆です）。

zで示される特定の音響インピーダンスは、ラプラス変換、フーリエ変換、または時間領域固有の音響抵抗の分析表現です。

z（s）= defL（s）= L（s）L（s）、{\ displaystyle z（s）{\ stackrel {\ mathrm {def}} {{} = {}}} {\ mathcal {L} }（s）= {\ frac {{\ mathcal {L}}（s）} {{\ mathcal {L}}（s）}}、} z（ω）= defF（ω）= F（ω）F （ω）、{\ displaystyle z（\ omega）{\ stackrel {\ mathrm {def}} {{} = {}}} {\ mathcal {F}}（\ omega）= {\ frac {{\ mathcal { F}}（\ omega）} {{\ mathcal {F}}（\ omega）}}、} z（t）= defra（t）= 12（t）、{\ displaystyle z（t）{\ stackrel { \ mathrm {def}} {{} = {}}} r _ {\ mathrm {a}}（t）= {\ frac {1} {2}} \！\ left \！（t）、}

ここで、v -1 Vの畳み込み逆数です。

rで表される特定の音響抵抗とxで表される特定の音響リアクタンスは 、それぞれ特定の音響インピーダンスの実数部と虚数部です。

z（s）= r（s）+ ix（s）、{\ displaystyle z（s）= r（s）+ ix（s）、} z（ω）= r（ω）+ ix（ω）、{ \ displaystyle z（\ omega）= r（\ omega）+ ix（\ omega）、} z（t）= r（t）+ ix（t）、{\ displaystyle z（t）= r（t）+ ix （t）、}

どこ

z （ s ）では、 r （ s ）は時間領域固有の音響抵抗r （ t ）のラプラス変換ではなく、 z （ s ）は
z （ ω ）では、 r （ ω ）は時間領域固有の音響抵抗r （ t ）のフーリエ変換ではなく、 z （ ω ）は
z （ t ）では、 r （ t ）は時間領域固有の音響抵抗であり、 x （ t ）は分析表現の定義による時間領域固有の音響抵抗r （ t ）のヒルベルト変換です。

x Lで示される特定の誘導音響リアクタンスとx Cで示される特定の容量音響リアクタンスは 、それぞれ特定の音響リアクタンスのプラス部分とマイナス部分です。

x（s）= xL（s）−xC（s）、{\ displaystyle x（s）= x_ {L}（s）-x_ {C}（s）、} x（ω）= xL（ω）− xC（ω）、{\ displaystyle x（\ omega）= x_ {L}（\ omega）-x_ {C}（\ omega）、} x（t）= xL（t）−xC（t）。{\ displaystyle x（t）= x_ {L}（t）-x_ {C}（t）。}

yで示される特定の音響アドミタンスは、ラプラス変換、フーリエ変換、または時間領域の特定の音響コンダクタンスの解析表現です。

y（s）= defL（s）= 1z（s）= L（s）L（s）、{\ displaystyle y（s）{\ stackrel {\ mathrm {def}} {{} = {}}} { \ mathcal {L}}（s）= {\ frac {1} {z（s）}} = {\ frac {{\ mathcal {L}}（s）} {{\ mathcal {L}}（s） }}、} y（ω）= defF（ω）= 1z（ω）= F（ω）F（ω）、{\ displaystyle y（\ omega）{\ stackrel {\ mathrm {def}} {{} = {}}} {\ mathcal {F}}（\ omega）= {\ frac {1} {z（\ omega）}} = {\ frac {{\ mathcal {F}}（\ omega）} {{\ mathcal {F}}（\ omega）}}、} y（t）= defga（t）= z−1（t）= 12（t）、{\ displaystyle y（t）{\ stackrel {\ mathrm {def }} {{} = {}}} g _ {\ mathrm {a}}（t）= z ^ {-1}（t）= {\ frac {1} {2}} \！\ left \！（t ）、}

どこ

Z -1 Zの畳み込み逆です。
P -1 Pの畳み込み逆です。

gで示される特定の音響コンダクタンスとbで示される特定の音響サセプタンスは 、それぞれ特定の音響アドミタンスの実数部と虚数部です。

y（s）= g（s）+ ib（s）、{\ displaystyle y（s）= g（s）+ ib（s）、} y（ω）= g（ω）+ ib（ω）、{ \ displaystyle y（\ omega）= g（\ omega）+ ib（\ omega）、} y（t）= g（t）+ ib（t）、{\ displaystyle y（t）= g（t）+ ib （t）、}

どこ

y （ s ）では、 g （ s ）は時間領域音響コンダクタンスのラプラス変換ではありません g （ t ）、 y （ s ）は
y （ ω ）では、 g （ ω ）は時間領域の音響コンダクタンスg （ t ）のフーリエ変換ではありません 。y （ ω ）は
y （ t ）において、 g （ t ）は時間領域音響コンダクタンスであり、 b （ t ）は分析表現の定義による時間領域音響コンダクタンスg （ t ）のヒルベルト変換です。

特定の音響インピーダンスzは、特定の媒体の集中的な特性です（たとえば、空気または水のzを指定できます）。一方、音響インピーダンスZは、特定の媒体およびジオメトリの広範な特性です（たとえば、空気で満たされた特定のダクトのZを指定できます）。

関係

面積Aの開口部を通過する1次元波の場合、音響体積流量Qは、開口部を毎秒通過する媒体の体積です。音響流が距離d x = v d tを移動する場合、通過する媒体の体積はd V = A d xです。

Q = dVdt = Adxdt = Av。{\ displaystyle Q = {\ frac {\ mathrm {d} V} {\ mathrm {d} t}} = A {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm { d} t}} = Av。}

波が1次元のみの場合、次のようになります。

Z（s）= L（s）L（s）= L（s）AL（s）= z（s）A、{\ displaystyle Z（s）= {\ frac {{\ mathcal {L}}（s ）} {{\ mathcal {L}}（s）}} = {\ frac {{\ mathcal {L}}（s）} {A {\ mathcal {L}}（s）}} = {\ frac { z（s）} {A}}、} Z（ω）= F（ω）F（ω）= F（ω）AF（ω）= z（ω）A、{\ displaystyle Z（\ omega）= { \ frac {{\ mathcal {F}}（\ omega）} {{\ mathcal {F}}（\ omega）}} = {\ frac {{\ mathcal {F}}（\ omega）} {A {\ mathcal {F}}（\ omega）}} = {\ frac {z（\ omega）} {A}}、} Z（t）= 12（t）= 12（t）= z（t）A. { \ displaystyle Z（t）= {\ frac {1} {2}} \！\ left \！（t）= {\ frac {1} {2}} \！\ left \！（t）= {\ frac {z（t）} {A}}。}

特性音響インピーダンス

特性固有音響インピーダンス

1次元の非分散線形音響の構成則は、応力とひずみの関係を示します。

p = −ρc2∂δ∂x、{\ displaystyle p =-\ rho c ^ {2} {\ frac {\ partial \ delta} {\ partial x}}、}

どこ

pは媒体内の音圧です。
ρは、媒体の体積質量密度です。
cは、媒質を伝わる音波の速度です。
δは粒子の変位です。
xは、音波の伝播方向に沿った空間変数です。

この方程式は、流体と固体の両方に有効です。に

流体、 ρc2 = K （ Kは体積弾性率を表します）;
固体、横波用ρC2 = K + 4/3 G（Gはせん断弾性係数を意味する）縦波とρc2ため= G。

媒体に局所的に適用されるニュートンの第二法則は以下を与えます

ρ∂2δ∂t2= −∂p∂x。{\ displaystyle \ rho {\ frac {\ partial ^ {2} \ delta} {\ partial t ^ {2}}} =-{\ frac {\ partial p} {\ partial x}}。}

この方程式を前の方程式と組み合わせると、1次元の波動方程式が得られます。

∂2δ∂t2=c2∂2δ∂x2。{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} \ delta} {\ partial t ^ {2}}} = c ^ {2} {\ frac {\ partial ^ {2} \ delta} {\ partial x ^ {2}}}。}

平面波

δ（r、t）=δ（x、t）{\ displaystyle \ delta（\ mathbf {r}、\、t）= \ delta（x、\、t）}

この波動方程式の解は、同じ速度で反対方向にxに沿って進行する2つの進行性平面波の合計で構成されます。

δ（r、t）= f（x−ct）+ g（x + ct）{\ displaystyle \ delta（\ mathbf {r}、\、t）= f（x-ct）+ g（x + ct） }

そこから派生することができます

v（r、t）=∂δ∂t（r、t）= − c、{\ displaystyle v（\ mathbf {r}、\、t）= {\ frac {\ partial \ delta} {\ partial t} }（\ mathbf {r}、\、t）=-c {\ big}、} p（r、t）= −ρc2∂δ∂x（r、t）= −ρc2。{\ displaystyle p（\ mathbf {r}、\、t）=-\ rho c ^ {2} {\ frac {\ partial \ delta} {\ partial x}}（\ mathbf {r}、\、t）=-\ rho c ^ { 2} {\ big}。}

進行性平面波の場合：

{p（r、t）= −ρc2f ′（x−ct）v（r、t）= − cf′（x−ct）{\ displaystyle {\ begin {cases} p（\ mathbf {r}、\、 t）=-\ rho c ^ {2} \、f '（x-ct）\\ v（\ mathbf {r}、\、t）=-c \、f'（x-ct）\ end {cases }}}

または

{p（r、t）= −ρc2g ′（x + ct）v（r、t）= cg′（x + ct）。{\ displaystyle {\ begin {cases} p（\ mathbf {r}、\、 t）=-\ rho c ^ {2} \、g '（x + ct）\\ v（\ mathbf {r}、\、t）= c \、g'（x + ct）。\ end {cases }}}

最後に、特定の音響インピーダンスzは

z（r、s）= L（r、s）L（r、s）=±ρc、{\ displaystyle z（\ mathbf {r}、\、s）= {\ frac {{\ mathcal {L}} （\ mathbf {r}、\、s）} {{\ mathcal {L}}（\ mathbf {r}、\、s）}} = \ pm \ rho c、} z（r、ω）= F（ r、ω）F（r、ω）=±ρc、{\ displaystyle z（\ mathbf {r}、\、\ omega）= {\ frac {{\ mathcal {F}}（\ mathbf {r}、\ 、\ omega）} {{\ mathcal {F}}（\ mathbf {r}、\、\ omega）}} = \ pm \ rho c、} z（r、t）= 12（r、t）=± ρc。{\ displaystyle z（\ mathbf {r}、\、t）= {\ frac {1} {2}} \！\ left \！（\ mathbf {r}、\、t）= \ pm \ rho c。}

この特定の音響インピーダンスの絶対値は、しばしば特性固有の音響インピーダンスと呼ばれ、 z 0で示されます。

z0 =ρc。{\ displaystyle z_ {0} = \ rho c。}

方程式はまた、

p（r、t）v（r、t）=±ρc=±z0。{\ displaystyle {\ frac {p（\ mathbf {r}、\、t）} {v（\ mathbf {r}、\、 t）}} = \ pm \ rho c = \ pm z_ {0}。}

z 0は媒体間、特に気相と凝縮相間で大きく異なります。たとえば、水は空気の800倍の密度で、音速は空気の4.3倍です。したがって、水の比音響インピーダンスは空気の3,500倍です。これは、空気が、その下方Z 0と、水よりもはるかに大きい速度変位振幅で移動するための圧力所与の圧力振幅を有する水中の音は同じで3,500倍より弱い空気中の1つ以上であることを意味します。相互に、水中の音と空気中の音の強さが同じであれば、空気中の圧力ははるかに小さくなります。これらの変動は、一方では室内音響または大気音響と、他方では水中音響との間に重要な違いをもたらします。

温度の影響

温度は、音速と質量密度、したがって特定の音響インピーダンスに作用します。

温度 T （°C）	音速 c （m / s）	空気の密度 ρ （kg / m3）	特性固有音響インピーダンス z 0（Pa・s / m）
35	351.88	1.1455	403.2
30	349.02	1.1644	406.5
25	346.13	1.1839	409.4
20	343.21	1.2041	413.3
15	340.27	1.2250	416.9
10	337.31	1.2466	420.5
5	334.32	1.2690	424.3
0	331.30	1.2922	428.0
−5	328.25	1.3163	432.1
−10	325.18	1.3413	436.1
−15	322.07	1.3673	440.3
−20	318.94	1.3943	444.6
−25	315.77	1.4224	449.1

特性音響インピーダンス

面積Aの開口部を通過する1次元の波の場合、 Z = z / Aであるため、波が進行性平面波の場合：

Z（r、s）=±ρcA、{\ displaystyle Z（\ mathbf {r}、\、s）= \ pm {\ frac {\ rho c} {A}}、} Z（r、ω）=± ρcA、{\ displaystyle Z（\ mathbf {r}、\、\ omega）= \ pm {\ frac {\ rho c} {A}}、} Z（r、t）=±ρcA。{\ displaystyle Z（ \ mathbf {r}、\、t）= \ pm {\ frac {\ rho c} {A}}。}

この音響インピーダンスの絶対値は、しばしば特性音響インピーダンスと呼ばれ、 Z 0と表示されます。

Z0 =ρcA。{\ displaystyle Z_ {0} = {\ frac {\ rho c} {A}}。}

特性固有音響インピーダンスは

p（r、t）Q（r、t）=±ρcA=±Z0。{\ displaystyle {\ frac {p（\ mathbf {r}、\、t）} {Q（\ mathbf {r}、\、 t）}} = \ pm {\ frac {\ rho c} {A}} = \ pm Z_ {0}。}

面積Aの開口部がパイプの始点であり、平面波がパイプに送信される場合、開口部を通過する波は、反射がなく、通常はパイプのもう一方の端からの反射のある進行性平面波です。、開いているか閉じているかにかかわらず、一方の端からもう一方の端に移動する波の合計です。（パイプが非常に長い場合、反射波が戻るのに長い時間がかかり、パイプ壁での損失による減衰があるため、反射がない可能性があります。）このような反射と結果として生じる定在波は、管楽器の設計と操作。

応用科学

音響インピーダンス

数学的な定義