5-ポリトープ

3つの規則的なポリトープと3つの均一なポリトープのグラフ。
5シンプレックス（ヘキサテロン）
5-オルソプレックス、 211
（ペンタクロス）
5キューブ
（Penteract）
拡張された5シンプレックス
整流5-オルソプレックス
5-デミキューブ。 121
（準五角形）

5次元ジオメトリでは、 5次元ポリトープまたは5ポリトープは、（4ポリトープ）ファセットで囲まれた5次元ポリトープです。各多面体セルは、正確に2つの4ポリトープファセットで共有されます。

定義

5ポリトープは、頂点、エッジ、面、セル、および4面を持つ5次元の閉じた図形です。頂点は、5つ以上のエッジが交わるポイントです。エッジは4つ以上の面が交わる線分であり、面は3つ以上のセルが交わる多角形です。セルは多面体であり、4面は4ポリトープです。さらに、次の要件を満たす必要があります。

1. 各セルは、正確に2つの4面を結合する必要があります。
2. 隣接する4面は、同じ4次元超平面にありません。
3. 図は、要件を満たす他の図の複合ではありません。

特徴

与えられた5ポリトープのトポロジは、そのベッティ数とねじれ係数によって定義されます。

多面体を特徴付けるのに使用されるオイラー特性の値は、基礎となるトポロジが何であれ、高次元に有用に一般化されません。高次元で異なるトポロジーを確実に区別するためのオイラー特性のこの不十分さは、より洗練されたベティ数の発見につながりました。

同様に、多面体の配向性の概念は、トロイダル多面体の表面のねじれを特徴づけるには不十分であり、これはねじれ係数の使用につながりました。

分類

5-ポリトープは、「凸性」や「対称性」などの特性に基づいて分類できます。

• 5ポリトープは、その境界（セル、面、およびエッジを含む）がそれ自体と交差せず、5ポリトープの任意の2点を結ぶ線分が5ポリトープまたはその内部に含まれる場合、 凸です。それ以外の場合は、 非凸です。自己交差5ポリトープは、スターポリトープとしても知られています。これは、非凸ケプラーポインソット多面体の星のような形状との類似性からです。
• 均一な 5ポリトープには、すべての頂点が同等である対称グループがあり、そのファセットは均一な4ポリトープです。均一なポリトープの面は規則的でなければなりません。

• 半正則5ポリトープには、2種類以上の正則4ポリトープファセットが含まれます。そのような図は1つしかありません。
• 通常の5ポリトープには、すべて同一の通常の4ポリトープファセットがあります。通常の5ポリトープはすべて凸です。

• プリズム5ポリトープは、2つの低次元ポリトープのデカルト積で構成されます。プリズム5ポリトープは、因子が均一であれば均一です。ハイパーキューブは角柱（正方形と立方体の積）ですが、その要因から継承された対称性以外の対称性があるため、個別に考慮されます。
• 4空間テッセレーションは、4次元ユークリッド空間をポリコーラルファセットの規則的なグリッドに分割することです。厳密に言えば、テッセレーションは「5D」ボリュームをバインドしないため、ポリトープではありませんが、ポリトープと多くの点で類似しているため、完全性のためにここに含めます。 均一な4空間テッセレーションは、頂点が空間グループによって関連付けられ、ファセットが均一な4ポリトープであるものです。

通常の5ポリトープ

通常の5ポリトープは、各面の周りにs {p、q、r}ポリコーラルファセットを伴うSchläfliシンボル{p、q、r、s}で表すことができます。

そのような凸の規則的な5ポリトープは正確に3つあります。

1. {3,3,3,3}-5-シンプレックス
2. {4,3,3,3}-5キューブ
3. {3,3,3,4}-5-オルソプレックス

3つの凸正則5ポリトープと3つの半正則5ポリトープの要素は次のとおりです。

名前	シュレーフリ シンボル	コクセター ダイアグラム	頂点	エッジ	顔	細胞	4面	対称性（順序）
5シンプレックス	{3,3,3,3}		6	15	20	15	6	A5、（120）
5キューブ	{4,3,3,3}		32	80	80	40	10	BC5、（3820）
5-オルソプレックス	{3,3,3,4} {3,3,31,1}		10	40	80	80	32	BC5、（3840） 2×D5

均一な5ポリトープ

3つの半正則5ポリトープの要素は次のとおりです。

名前	シュレーフリ シンボル	コクセター ダイアグラム	頂点	エッジ	顔	細胞	4面	対称性（順序）
拡張された5シンプレックス	t0,4 {3,3,3,3}		30	120	210	180	162	2×A5、（240）
5-デミキューブ	{3,32,1} h {4,3,3,3}		16	80	160	120	26	D5、（1920） ½BC5
整流5-オルソプレックス	t1 {3,3,3,4} t1 {3,3,31,1}		40	240	400	240	42	BC5、（3840） 2×D5

拡張された5シンプレックスは、均一な5シンプレックスハニカムの頂点図です。 5デミキューブハニカム、頂点の図形は、 修正された5オーソプレックスであり、ファセットは、 5オーソプレックスと5デミキューブです。

ピラミッド

ピラミッド5ポリトープ、または5ピラミッドは 、超平面から離れた点に接続された4空間超平面の4ポリトープベースによって生成できます。 5シンプレックスは、4シンプレックスベースの最も単純な例です。